第八章 系统的状态变量分析 151 第八章 系统的状态变量分析
一、单项选择题
X8.1（东南大学2001年考研题）已知某系统的状态方程为
?1??34??x1??0??x?????f(t) ?x??????2??65??x2??1?则下列选项中不可能是该系统的零输入响应的是 。 （A）e?(t) （B）0 （C）e?(t) （D）e?(t) 答案：D
?t9t?9t二、判断与填空题
T8.1判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”
（华中科技大学2002年考研题）状态变量在某一确定时刻t 0的值，即为系统在时刻t 0
的状态[ ]。状态方程与输出方程共同构成了描述系统特征的完整方程，共同称为系统方程。[ ]
答案：√，√
三、画图、证明与计算题
J8.1（华中科技大学2003年考研题）电路如图J8.1-1所示，若以iL1(t)、iL2(t)、uc(t)为状态变量，以uL1(t)和uL2(t)为输出，试列出电路的状态方程和输出方程，图中
R1?R2?1?,C1?C2?1H,C?1F。
R1iL1L1+uL1_u (t)s1CMiL2L2R2ic+uc_+uL2_u (t)s2 图J8.1-1
解：uL1(t)?L1diL1(t)dt,uL2(t)?L2diL2(t)dt,ic(t)?Cduc(t),dt
第八章 系统的状态变量分析 152 设x1?iL1,x2?iL2,x3?uc,
左网孔回路电压方程为：
uL1?us1?R1iL1?uc由上式可得
?uL1??x1?x3?us1 （J8.1-1）
?1?us1?R1iL1?ucL1iL右网孔回路电压方程为：
?1??x1?x3?us1 （J8.1-2） ?xuL2?uc?R2iL2?us2由上式可得
?uL2??x2?x3?us2 （J8.1-3）
?2?uc?R2iL2?us2L2iL列出M点的KCL方程：
?2??x2?x3?us2 （J8.1-4） ?x??iL1?iL2ic?Cuc?3?x1?x2 （J8.1-5） ?x由式（J8.1-2）、（J8.1-4）、（J8.1-5）构成系统的状态方程：
?1???10?1??x1??10??x?u??x?2???0?11??x2???0?1??s1?
????????u?s2???3??1?10????00???x???x3???由式（J8.1-1）、（J8.1-3）构成系统的输出方程：
?x1??uL1???10?1????10??us1??u???0?11??x2???0?1??u?
??????s2??L2???x3?
J8.2（华中科技大学2004年考研题）已知如图J8.2-1所示线性系统，取积分器输为状态变量(x1,x2)。
+f(t)a+?++x1∫x1+?cy(t)x2∫x2b 图J8.2-1
（1）列出系统的状态方程；
第八章 系统的状态变量分析 153 ?2t?t?x1(t)???8e?3e????(t)，（2）若在激励f(t)??(t)时，有零状态响应?求图中a、??2t?t???8e?6e???x2(t)??b、c各参数值。
?(t),x2?(t)，如图J8.2-1所示。 解：（1）两个积分器的输入分别为x1y?f?x1
??af?cy?x2?(a?c)f?cx1?x2 （J8.2-1） ?1?x1x??bcy?bcf?bcx1 （J8.2-2） ?2?x2x将式（J8.2-1）、（J8.2-2）写成矩阵形式，得系统的状态方程：
?1??c1??x1??a?c??x?x???bc0??x???bc??f? ???2????2??（2）由已知条件：f(t)??(t)时，
x1(t)??8e?2t?3e?t?(t) （J8.2-3） x2(t)??8e?2t?6e?t?(t) （J8.2-4）
代入式（J8.2-1）、（J8.2-2）得
?????1?(a?c)?(t)?8(c?1)e?2t?(t)?(3c?6)e?t?(t) （J8.2-5） x?2?bc?(t)?8bce?2t?(t)?3bce?t?(t) （J8.2-6） x对式式（J8.2-3）、（J8.2-4）求一阶导数，得
?1(t)?16e?2t?3e?t?(t)?5?(t) （J8.2-7） x?2(t)?16e?2t?6e?t?(t)?2?(t) （J8.2-8） x对式（J8.2-5）和式（J8.2-7）、式（J8.2-6）和式（J8.2-8）分别作比较，可得
?????a?c??5???8(c?1)?16?3c?6??3??bc??2???8bc?16?3bc??6?
???a??2???2???b? ??3?????c??3???第八章 系统的状态变量分析 154 J8.3（浙江大学2002年考研题）某因果系统的状态方程和输出方程为
?dx1??dt??0?2??x1??01??f1???????x???10??f? dx1?3??2????2??2????dt???x1?y(t)??10???
?x2?求：（1）系统的状态转移矩阵e；（2）判断系统是否稳定；（3）画出系统框图。 解：（1）由系统的状态方程和输出方程可得
At?0?2?A???,??1?3???01?B???,??10??C??01?,1s?21s?2D?0
?22??s?1s?2??12???s?1s?2?
?s?3?2?1?(s)??sI?A???s?3s?21?2?s?3s?2At?1?2??2?2??s?3s?2?s?1??1s???s2?3s?2??s?1?2e?t?e?2t?(t)e??(t)?L??(s)????t?2t?e?e?(t)（2）先求系统函数
??????2e??e?t?t?2e?2t?(t)???2e?2t?(t)???1???ss?3s?2?? H(s)?C?(s)B?D???s?3??s??s?3s?2?即
Y(s)?F1(s)H1(s)?F2(s)H2(s)?1s?3F(s)?F2(s) 1sss?3s?2s?3s?2分析可知，H1(s),H2(s)的极点均为s??1,s??2；它们都处于左半s平面，所以系统稳定。
（3）由（2）知，
Y(s)?F1(s)H1(s)?F2(s)H2(s)?据此可画出如下s域框图。
1s?3F(s)?F2(s) 1ss?3s?2ss?3s?2第八章 系统的状态变量分析 155 F (s)1+?--3s-1s-1Y (s)12+?1++++3Y(s)F (s)2?--3s-1s-1?Y (s)22 图J8.3-1
J8.4（上海大学2003年考研题）已知一离散时间线性时不变因果系统如图J8.4-1所示。 （1）以列出系统的状态方程和输出方程； （2）系统是否稳定？
（3）求该系统的系统函数H(z)。 解：（1）两个延时器的输入分别为
f(k)+?+x 1 (k+1)Dx 1 (k)-2+1/6x 2 (k)Dx 2 (k+1)?+-?y(k)5/6 图J8.4-1 x1(k?1),x2(k?1)，由图可得
x1(k?1)?f(k)?1x2(k) （J8.4-1） 65x2(k?1)??x1(k)?x2(k) （J8.4-2）
6则系统的状态方程
?0?x1(k?1)???x(k?1)????2???1??系统的输出方程为
1?6??x1(k)??1????f(k) ???5??x2(k)??0?6??y(k)?2x1(k)?x2(k) （J8.4-2）
（2）由（1）得，系统矩阵为
??0A????1??令上式等于零，即
1?6??5??6?z?zI?A??116z?56?z2?51z? 66