第八章 系统的状态变量分析 156 51z2?z??066上式的根为：z1,2?
11,，它们都在z平面的单位圆之内，故该因果系统是稳定的。 231X2(z) 65X2(z)??X1(z)?X2(z)
6zX1(z)?F(z)?（3）对式（J8.4-1）、式（J8.4-2）和式（J8.4-3）求z变换，得
由以上两式可得
z?X1(z)?51z2?z?6656F(z),X2(z)??1F(z)
512z?z?66对式（J8.4-3）求z变换，并将以上两式代入，得
z?Y(z)?2X1(z)?X2(z)?则系统函数为
51z2?z?661616F(z)
H(z)?Y(z) ?51F(Z)z2?z?66
z?J8.5（重庆大学2000年考研题）如图J8.5-1所示系统，如果以图中x1(t),x2(t),x3(t)为状态变量，以y(t)为响应，试列出系统的状态方程和输出方程。
F(s)+?P(s)1s+2X2(s)5s+10X1(s)Y(s)X3(s)1s+1 图J8.5-1
解：设加法器输出为P(s)。由图可得
P(s)?X3(s)?F(s)?p(t)?x3(t)?f(t)
X2(s)?1P(s)s?2?(s?2)X2(s)?P(s)?2(t)?2x2(t)?p(t) ?x?2(t)??2x2(t)?x3(t)?f(t) （8.5-1） ?x第八章 系统的状态变量分析 157 X1(s)?5X2(s)s?10?(s?10)X1(s)?5X2(s)?1(t)?10x1(t)?5x2(t) ?x?1(t)??10x1(t)?5x2(t) （8.5-2） ?xX3(s)?1X1(s)s?1?(s?1)X3(s)?X1(s)?3(t)?x3(t)?x1(t) ?x?3(t)?x1(t)?x3(t) （8.5-3） ?x由式（8.5-1）、（8.5-2）、（8.5-3）可得系统的状态方程：
?1???1050??x1??0??x?x??x???1??f? ?2???0?21?????2?????3?0?1??1???0???x???x3???Y(s)?X1(s)?x1???y(t)?x1(t)??100??x2?? ??x3??
J8.6（南京理工大学2000年考研题）某二阶离散LTI系统流图如图J8.6-1所示， （1）列出系统的状态方程和输出方程（矩阵形式）； （2）求系统函数H(z)（用矩阵方法求解）； （3）根据H(z)列出系统的差分方程（后向）； （4）若H1(z)为H(z)中的零点和单位圆内的极点构成的子系统，画出H1(z)的幅频特性曲线。
解：（1）延迟器的输入分别为x1(k?1),x2(k?1)。
f(k)1-0.5x (k1+1)1z-10.5x (k1)111y(k)z-12x (k2+1)x (k2) 图J8.6-1 x1(k?1)??0.5x1(k)?f(k)x2(k?1)?0.5x1(k)?2x2(k?1)?f(k)由上可得系统的状态方程：
?x1(k?1)???0.50??x1??1??x(k?1)???0.52??x???1?f(k)
??2????2??系统的输出方程：
?x1?y(k)?x1(k)?x2(k)??11???
?x2?第八章 系统的状态变量分析 158 （2）由（1）可知
??0.50?A???,0.52????1?B???,?1?C??11?,D?0
?zI?A??1?0??z?21?z2?1.5z?1??0.5z?0.5?则系统函数H(z)为
H(z)?C?zI?A?B?D?10??1??z?212z?1
?11???2??1??0?z2?1.5z?10.5z?0.5z?1.5z?1????（3）由系统函数可写出系统的差分方程：
y(k)?1.5y(k?1)?y(k?2)?2f(k?1)?f(k?2)
（4）H(z)的极点为：z??0.5,z?2；H(z)的零点为：z?0.5。则H1(z)应为
H1(z)?该子系统的幅频特性为：
z?0.5
z?0.5ej??0.51.25?cos?H1(e)?j??
e?0.51.25?cos?j?幅频特性曲线如图J8.6-2所示。
图J8.6-2 系统的幅频特性
第八章 系统的状态变量分析 159 J8.7（南京航空航天大学2000年考研题）已知某连续系统的系统方程为
d3y(t)d2y(t)dy(t)d2f(t)df(t)?6?11?6y(t)?2?10?14f(t) dt3dt2dtdt2dt试求：
（1）该系统的系统函数H(s)；
（2）绘出系统的时域上的直接模拟框图； （3）列出系统的状态方程和输出方程。 解：（1）对微分方程求拉氏变换，得
Y(s)2s2?10s?14H(s)??
F(s)s3?6s2?11s?6（2）系统的时域模拟框图如图J8.7-1所示。
210+++f(t)?---6∫x 3∫116x 2∫x 114+?y(t) 图J8.7-1
（3）以各积分器的输出x1(t),x2(t),x3(t)作为系统的状态变量，如图，则各积分器的
?1(t),x?2(t),x?3(t)。由图可得 输入相应为x?3(t)??6x1(t)?11x2(t)?6x3(t)?f(t)x?2(t)?x3(t)x ?1(t)?x2(t)x由以上可得系统的状态方程为
?1(t)??010??x1??0??x?x??x???0??f? ?2(t)???001?????2?????3(t)???6?11?6????1???x???x3???系统的输出方程为
?x1??y(t)?14x1(t)?10x2(t)?2x3(t)??14102??x?2? ??x3??
第八章 系统的状态变量分析 160 J8.8（西安电子科技大学2002年考研题）如所示的复合系统由两个线性时不变子系统Sa和Sb组成，其状态方程和输出方程分别为
?a1(t)??1?2??xa1??1??x?xa1?对于子系统Sa：????21??x???0?f1(t)， y1(t)??1?1??x?
?x(t)??a2????a2???a2??b1(t)??2?1??xb1??2??x?xb1?????f(t)y(t)?0?1对于子系统Sb：????21??x??0?2， 2?x?
?x(t)??b2????b2???b2?（1）写出复合系统的状态方程和输出方程的矩阵形式；
（2）；写出复合系统的信号流图，标出状态变量xa1,xa2,xb1,xb2；并求复合系统的系统函数H(s)。
解：由图可得
f1(t)?f(t)?y2(t) ?xb1??f(t)??0?1????f(t)?xb2??xb2??f(t)+?-f 1(t)Say1 (t)y(t)y2 (t)Sbf 2 (t) 图J8.8-1 ?xa1?f2(t)?y1(t)??1?1????xa1?xa2
?xa2?由子系统Sa的状态方程和输出方程可得
?a1(t)?xa1?2xa2?f1?xa1?2xa2?xb2?fx?a2(t)?2xa1?xa2xy1(t)?xa1?xa2由子系统Sb的状态方程和输出方程可得
?????(J8.8-1)
?b1(t)?2xb1?xb2?2f2?2xa1?2xa2?2xb1?xb2x?b2(t)??2xb1?xb2xy2(t)??xb2由式（J8.8-1）和式（J8.8-2）可得复合系统的状态方程为:
?????(J8.8-2)
?a1??1?200??xa1??1??x?x??x??0??a2??2100??????a2?????f? ?x?b1??2?22?1??xb1??0??????????00?21x??xb2??0??b2??复合系统的输出方程为: