第八章 系统的状态变量分析 161 ?xa1??x?a2y(t)?y1(t)?xa1?xa2??1?100???
?xb1????xb2?（2）按式（J8.8-1）和式（J8.8-2）可画出复合系统的信号流图，如图J8.8-2所示。
Sa(s)1F(s)1f11s-11xa12s-11-2xa2-1y111Y(s)-1-1xb2y21s-11-2xb1s-122f2-1Sb(s) 图J8.8-2
由信号流图，利用梅森公式可分别求子系统Sa和Sb的系统函数：
Ha(s)?Hb(s)?Y1(s)s?3?2F1(s)s?2s?5Y2(s)4?2F2(s)s?3s
F(s)+?-F 1(s)H (s)aY1 (s)Y(s)Y (s)2H (s)bF 2(s)将图J8.8-1转换成s域框图，如图J8.8-3所示。由此可得复合系统的系统函数H(s)：
图J8.8-3 Y(s)Ha(s)s2?3sH(s)???3 2F(S)1?Ha(s)Hb(s)s?2s?5s?4
J8.9（国防科技大学2000年考研题）已知离散因果系统的的状态方程和输出方程为
?x1(k?1)???12??x1(k)??1??x1(k)?????f(k)y(k)?1?1， ?x(k?1)???1?4??x(k)??1??x(k)??f(k)
??2????2???2?（1）求系统的差分方程，并画出系统的信号流图； （2）判断系统的稳定性，并说明理由。
解：（1）先求系统函数H(z)。由系统的的状态方程和输出方程可得
??12?A??,???1?4??1?B???， C??1?1?,?1?D?1
第八章 系统的状态变量分析 162 ?zI?A??1??12??z?41 ??2z?5z?6??1z?1?H(z)?C?zI?A?B?D2??1??z?41z2?5z?12
?1?1???2??1??1?z2?5z?6?1z?1z?5z?6????由系统函数H(z)的表达式可得出系统的差分方程和信号流图：
y(k)?5y(k?1)?6y(k?2)?f(k)?5f(k?1)?12f(k?2)
151z-1-5-6z-1F(z)121Y(z) 图J8.9-1
（2）
z2?5z?12z2?5z?12H(z)??2?
z?5z?6?z?2??z?3?可见，H(z)的极点为：z??2,z??3；它们都处于单位圆之外，故系统不稳定。
J8.10（浙江大学2000年考研题）有一离散系统如图J8.10-1所示，设k?0时，
f1(k)?f2(k)?0，系统的输出为
6?1?6?1?y(k)??????
5?2?5?3?+kkb+-1（1）确定常数a、b； （2）根据所列的状态方程求
F (z)1?+zaX (z)1z-1+X (z)2+?Y(z)F (z)2 图J8.10-1 x1(k)和x2(k)的闭式解；
（3）求该系统的差分方程。 解：（1）由系统框图可得
z?2Y(z)?F(z)?F2(z)?1?211?az?bz?
?1?az?1?bz?2Y(z)?z?2F1(z)?1?az?1?bz?2F2(z)???第八章 系统的状态变量分析 163 则系统的差分方程为
y(k)?ay(k?1)?by(k?2)?f1(k?2)?f2(k)?af2(k?1)?bf2(k?2)
则零输入响应的差分方程为
yzi(k)?ayzi(k?1)?byzi(k?2)?0
作z变换可得
Yzi?ay(?1)?by(?2)?z2?by(?1)z （J8.10-1） (z)?z2?az?b由题设可知，所给出的响应为零输入响应，即
6 （J8.10-2）
515z2?z?6651对比式（J8.10-1）和式（J8.10-2）可得：a?,b??
66?Yzi(z)?系统的差分方程为
?6?1?6?1??yzi(k)?????????(k)??5?2?5?3???kkz2?1z6y(k)?5151y(k?1)?y(k?2)?f1(k?2)?f2(k)?f2(k?1)?f2(k?2) 666651x1(k)?x2(k)?f1(k)66
（2）由系统框图可得如下状态方程：
x1(k?1)?ax1(k)?bx2(k)?f1(k)?x2(k?1)?x1(k)写成矩阵形式，
?x1(k?1)??5????6?x2(k?1)?????1系统的输出方程为
1????x1(k)??10??f1(k)????? 6???00?x2(k)????f2(k)????0????x1(k)??f1(k)?y(k)?x2(k)?f2(k)??01?????01???
?x2(k)??????f2(k)??5A??6?1?1???6,0???10?B???
00??第八章 系统的状态变量分析 164 ??z2?51?z2?z??166?(z)?z?zI?A?????z?251?z?z?66?1?z?651?2z?z??66? 5z2?z??651?2z?z??66???X1(z)?????(z)X(0)?z?1?(z)BF(z)??X2(z)????z2?51?z2?z?66????z?251?z?z?66???z2?51?z2?z?66????z?251?z?z?66?1??z??z6??5151z2?z???x1(0)??z2?z?66??66???5??x2(0)?z2?z?????16?2551?12z?z???z?z?66?66????? 51?2z?z???10??F1(z)?66????5??00???F2(z)?z???6?51?2z?z??66??161?zz???F(z)6?2511??51?z2?z???x1(0)??z?6z?6? 66???????5?2??x(0)1z?z??2??F1(z)?651?z2?z??51?2??z?z??66??66?对上式求逆z变换，得x1(k)和x2(k)的闭式解：
k??1?k?1??x1(k)??3?2??2?3?????????kk?11???????x2(k)??6???6???3???2?kkk?1??1??????????x(0)??2??3???1??(k)?kk?1??1?????2???3????x2(0)??2??3??k????1??1???6????????(k)*f1(k)??????2??3????????1?k?1?1?k?1??6????????(k?1)*f1(k)?????3??????2??
J8.11（上海大学2000年考研题）设有一连续系统如图J8.11-1所示。试求：
第八章 系统的状态变量分析 165 1++x 2 (t)+x 1 (t)F(s)?-s-1?-4s-1Y(s)3 图J8.11-1
（1）系统的状态变量方程和输出方程；
（2）根据状态变量方程和输出方程求系统的H(s)及微分方程； （3）系统在f(t)??(t)的作用下，输出响应为
5?11?y(t)???e?t?e?3t??(t)
6?32?求系统的初始状态x1(0?),x2(0?)。 解：（1）由图可得状态方程：
?1??4x1?x2?fx?2??3x1?fx写成矩阵形式：
(J8.11?1)
?1???41??x1??1??x???????????f?
?30?2?????1???x???x2???输出方程为：
?x1?y(t)?x1(t)??10??? （J8.11-2）
??x2??（2）由（1）得
??41?A???,?30??则系统函数为
?1?B???,??1??C??10?,D?0
H(s)?C?sI?A?B?D??1s?11 ?2s?4s?3s?3由图可知，该系统是二阶系统，故应取
?s由此可得系统的微分方程：
2?4s?3Y(s)?(s?1)F(s)
?