递推数列通项公式的求法
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
数列是近几年高考中的重点，难点，也是热点。所占分值约为12％--16％，并在解答题中必有一道且往往是以压轴题的形式出现，可见其重要性非同一般。从近几年高考数列题中不难发现，大部分试题都与通项公式有关，也进一步说明数列通项公式求法的重要性。当前我认为掌握了数列通项公式应是研究数列其它性质的重要前提，也会使我们解决数列相关问题变得更简单化。
高考大纲中也明确提出：要了解数列通项公式的意义，能根据数列递推公式求出通项公式并能解决简单的实际问题。据发现，很多学生学完了数列这章后总会感到数列很难，尤其是对数列通项公式求法感到很棘手。 一、求递推数列的常用方法和技巧 特殊方法： 1.公式法 2.累差法 3.累乘法 4.迭代法 5.倒数代换法 6.对数代换法 7.待定系数法 8待定函数法
8.特征方程法（含不动点法） 9.解方程组法 10.数学归纳法
11.换元法(含三角代换) 12．分解因式法
通用方法：(大神级方法) 13.母函数法（也叫级数法）（适合实验班数学高手，或者大学生，高中教师学习掌握。这种方法十分强大，比如像著名数列卡特兰数列递推公式都直接被母函数秒杀）
14.病灶分析法（自己发明的思维方法，名字起得不好听，呵呵。这种面向对象的思维方式非常好能激发学生的分析问题的能力！） 15.函数迭代法（详见附录一）（里面有 “算子代数”模型研究结果，难度较大，适合老师学习。这种方法威力极其强大，能算出极其难算的数列通项，适用范围一阶问题）
二、高考数学递推数列的常见类型 类型1.f(Sn,an)?0型的 类型2.递推公式为 类型3.递推公式为 类型4.递推公式为
（其中p，q均为常数，
）。
an?f(an?1)这种
类型5. 递推公式为an?1?pan?f?n?
类型6递推公式为??an?1?p(n)an?q(n)(p(n)?0)
?a1?a(a为常数）q 类型7.递推公式为an?1?pan?an?0?
类型8. 递推公式为an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。
an?1? 类型9.递推公式为
2an?p 类型10.an?1?型
2an?qpan?qran?h型（特别的情形是：an?1?an）
pan?1 类型11. 双数列型
?an?1?pan?qbn 递推公式为?确定an,bn.
b?sa?tbnn?n?122 类型12. 递推公式为an?1?pan?qan?rq?4pr?2q
?? 类型13.其他类型
类型14..循环数列 三、各类型求解方法 类型1.f(Sn,an)?0型的 这种类型一般利用an???S1????????????????(n?1)与an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)消去
?Sn?Sn?1???????(n?2)Sn (n?2)或与Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an进行求解。
例题1． 已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?(?1)n,n?1.
(Ⅰ)写出数列?an?的前3项a1,a2,a3; (Ⅱ)求数列?an?的通项公式;
分析：Sn?2an?(?1),n?1.---------------① 由a1?S1?2a1?1,得a1?1.----------------②
由n?2得，a1?a2?2a2?1，得a2?0--------------③ 由n?3得，a1?a2?a3?2a3?1，得a3?2---------④
n
用n?1代n得 Sn?1?2an?1?(?1)n?1-----------⑤ ①—⑤：an?Sn?Sn?1?2an?2an?1?2(?1)n 即an?2an?1?2(?1)n----------------------------⑥
an?2an?1?2(?1)n?22an?2?2(?1)n?1?2(?1)n?22an?2?22(?1)n?1?2(?1)n???2n?1a1?2n?1(?1)?2n?2(?1)2??2(?1)n
?2n?22?(?1)n?1---------------------------⑦ 3????解法二：
母函数法（这个通法用在这个题目上比较麻烦，这里仅仅是显示下母函数法的解题过程），母函数的优势在本题中体现不出来，但是作为通法，它有巨大价值！ 1 an?2an?1?2(?1)n--------------------------------○2 2xf(x)??2anxn?1---------------------------○
n?1????(1?2x)f(x)?a1x??(an?2an?1)xnn?1(1?2x)f(x)?x??(?2)(?1)nxnn?1??(1?2x)f(x)?x?2?(?x)nn?1??
x2(1?2x)f(x)?x?21?xx?x2f(x)?(1?2x)(1?x)设f(x)?A?
BC?，待定系数，用赋值法建立方程组解得： 1?2x1?x12?1f(x)??6?321?2x1?x11?2?nf(x)???(2x)??(?x)n
26i?03i?0?2f(x)??[2n?2?(?1)n?1]xni?03
2an?[2n?2?(?1)n?1]
3解法三：（病灶分析法）仅仅阐述我的一种思维方式，并没有固定格式： 1 an?2an?1?2(?1)n--------------------------------○我们来看一看这个递推公式，如果没有加法做即可，现在这个
2an?1中的2，那我们都会做了，直接用累
2an?1中的2，就是所谓的“病灶”
，下面我们来消灭它！
an?2an?1?2(?1)n
an?2an?1?2(?1)nanan?11n??2(?)2n2n?12ananan?1an?1an?2a2a1a1 ?(n?n?1)?(n?1?n?2)?...?(2?1)?12n2222222nan1k1??2(?)??n222k?2（注明：书写方便起见，我直接采用“横式累加法”）
2an?[2n?2?(?1)n?1]
3解法四：（病灶分析法）
1 an?2an?1?2(?1)n--------------------------------○
我们来看一看这个递推公式，如果没有2(?1)，那我们都会做了，直接就是等比数列了，直接秒杀，现在这个2(?1)，就是所谓的“病灶”，下面看我消灭它！
n2(?1)我们用“函数撕裂”的思想把这个撕开，分别配到左边和右边：
nnan??(?1)n?2[an?1??(?1)n?1]，比较系数得到??2 32{an?(?1)n}，就是等比数列了，而且公比是2，轻易算得：
32an?[2n?2?(?1)n?1]
3解法五：（病灶分析法）
1 an?2an?1?2(?1)n--------------------------------○
和面一样，还是选取2(?1)为病灶，不同的是，前面对病灶的处理，相当于对“病灶改良”把病灶规范化，相当于一个得了癌症的人，治疗以后带瘤生活。现在我换一种处理方法，就是直接把这个病灶，“肿瘤”给它割掉！
n
2 an?2an?1?2(?1)n----------------------------------○3 an?1?2an?2?2(?1)n?1-----------------------------○从式中解出2(?1)n?1?2an?2?an?1带入○2中得到：
an?an?1?2an?2，然后用特征方程法或者待定系数法求解求解
你可能会笑，干嘛还做麻烦了呢？嘿嘿，这个解法五发出来仅仅是展示一下肿瘤
是怎么被切掉的。就题论题而言我们完全没必要采用这个方法，但是这种方法，在处理更复杂的递推公式的时候也不失为一种极好的“手术刀”！
类型2.递推公式为
解法：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 例题2:已知数列?an?满足a1?解：由条件知：an?1?an?11，an?1?an?2，求an。 2n?n1111??? 2n?nn(n?1)nn?1分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加之，即
(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)
1111111?(1?)?(?)?(?)????????(?)
22334n?1n1所以an?a1?1?
n11131?a1?，?an??1???
22n2n类型3.递推公式为解法：把原递推公式转化为
an?1?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an2nan，求an。 ，an?1?3n?1例题3:已知数列?an?满足a1?解：由条件知之，即
an?1n?，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累乘ann?1aaa2a3a4123n?11??????????n????????????n?
na1a2a3an?1234a1n