又?a1?22，?an? 33n（其中p，q均为常数，
）。
类型4.递推公式为
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?换元法转化为等比数列求解。
例题4:已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.
q，再利用1?p解：设递推公式an?1?2an?3可以转化为an?1?t?2(an?t)即an?1?2an?t?t??3.故递推公式为an?1?3?2(an?3),令bn?an?3，则b1?a1?3?4,且
bn?1an?1?3??2.bnan?3所以?bn?是以b1?4为首项，2为公比的等比数列，则bn?4?2n?1?2n?1,所以
an?2n?1?3.
解法二：母函数法（再来熟练下母函数方法，这些通法一旦学会极其好用哦）
....f(x)?a1x?a2x2?...?an?1xn?1?...2xf(x)?2a1x2?a2x3?...?2anxn?1?...(1?2x)f(x)?a1x?(a2?2a1)x2?...?(an?1?2an)xn?1?...(1?2x)f(x)?x?3x2?...?3xn?1?...x?2x232f(x)??1??(1?x)(1?2x)1?x1?2xf(x)?1?3?x?2?(2x)kkk?0k?0??
f(x)??(2k?1?3)xkk?0??an?2n?1?3
解法三：（病灶分析法）
a1?1，an?1?2an?3
分析一下这个递推公式，如果没有“3”那么这个通项公式就OK了。因此这里的“3”就是“病灶”，下面看我们怎么来消灭它。（函数撕裂法把3撕开分散在左右两边形成规范型）
an???2(an?1??)，比较系数得??3
也就是上面的待定系数法，这里只是说明待定系数法是怎么分析来的，an?3?2(an?1?3)，
只是来解释一下，前人为什么会想到待定系数法。 解法四：（病灶分析法）
a1?1，an?1?2an?3
分析一下这个递推公式，如果没有“3”那么这个通项公式就OK了。因此这里的“3”就是“病灶”，下面看我们怎么来消灭它。（直接肿瘤切除） 1 an?1?2an?3--------------○2 an?2an?1?3---------------○
1-○2消去这个肿瘤“3”： ○
an?1?3an?2an?1，对于这个问题后面的步骤就不解释了，可能你又会说这个
题，用这个解法四来垃圾了，的确对这个题目而言是很垃圾，但是这个方法解决起复杂问题就非常好了，再此只是再次熟悉，手术刀是如何切除肿瘤的！ 解法五：（病灶分析法）
a1?1，an?1?2an?3
分析一下这个递推公式，如果没有“2”那么这个通项公式就很OK了，直接就是个等差数列，哈哈。因此这里的“2”就是“病灶”，下面看我们怎么来消灭它。
an?1an3?n?nn?1222
ananan?1an?1an?2a2a1a1?(n?n?1)?(n?1?n?2)?...?(2?1)?1n22222222（为了书写方便我就直接用“横式累加法”了） 解法六：（函数迭代法）算子代数方法
a1?1，an?1?2an?3
an?1?f(an),f(x)?2x?3，这里的函数f(x)就是可爱的迭代函数啦，嘎嘎。
因为
an?f(f(..f(f(a1)...)?f(n?1)(a1)，因此函数迭代的关键问题是对于一个
(n)具体的函数f(x)而言，如何去求它的N次复合函数f(x)的函数表达式了。
而对于这个问题总共有四种方法（直接计算法，数学归纳法，共轭函数法，不动点方法）求见附录，其中还列举了一些典型函数的N次复合结果。在这我就直接用不动点（fixed-point）秒了此题。
令f(x)?x，解得：x??3就是不动点了。取桥函数?(x)?x?(?3)
容易得到：f(x)???1(g(?(x)))?(??1。g。?)(x)
f(n)(x)?(??1。g(n)。?)(x),正是由于g(t)是一个简单函数，从而它的N次复
合很好计算，从而f(x)和这个函数搭上关系了，从而N次复合也得到解决。
an?f(an?1)an???1。g。?(an?1)
?(an)?g[?(an?1)]{?(an)}就是一个很简单的函数序列了。
而对这个题目：a1?1，an?1?2an?3
令f(x)?x，解得：x??3就是不动点了。取桥函数?(x)?x?(?3)
?(an)??(2an?1?3)an?3?2(an?3)，
{an?3}就是等比数列了。
看到这里你可能又笑了，费了九牛二虎之力才搞出来，这叫什么垃圾方法啊，别的一个待定系数就秒杀此题了。哈哈，对于此题用这个方法完全是杀鸡用牛刀了，小题大做了。仅仅借此题来展示下函数迭代的思想。这种方法十分强大。
比如迭代函数是
f(x)?xk1?axk，这样的
类型5. 递推公式为an?1?pan?f?n?解法：方法一：变形
an?1anf?n??n?n?1转化为类型2求解； n?1ppp
方法二：待定系数法解法：只需构造数列?bn?，消去f?n?带来的差异。
其他解法（母函数法和病灶分析法）
用上面的病灶分析法能很快解决，并且能给出3种以上的解法，说道这里你可能就笑了，所谓的病灶分析法分析出来的两种解题方法不就是这里摆着的解题方法吗？哈哈，但是这种分析方法让思维更流畅，不需要死记硬背来记忆这些无聊的变形方法，减轻学习负担的同时增强了分析问题的能力，并且体会到了动脑筋的乐趣，激发了学习兴趣！ 例题5．设数列?an?：a1?4,an?3an?1?2n?1,(n?2)，求数列?an?的通项公式。 解：设bn?an?An?B，则an?bn?An?B，将an,an?1代入递推式，得
bn?An?B?3?bn?1?A(n?1)?B??2n?1?3bn?1?(3A?2)n?(3B?3A?1)
??A?1?A?3A?2???? ??B?3B?3A?1?B?1?取bn?an?n?1?（１）则bn?3bn?1,又b1?6，故bn?6?3n?1?2?3n代入（１）得an?2?3n?n?1
2b?a?An?Bn?C; f(n)nn说明：（1）若为的二次式，则可设n(2)本题也可由两式相减得
an?3an?1?2n?1 ,an?1?3an?2?2(n?1)?1（n?3）
an?an?1?3(an?1?an?2)?2转化为bn?pbn?1?q求之.
?an?1?p(n)an?q(n)(p(n)?0)
a?a(a为常数）1?类型6递推公式为?解法：添加辅助数列p?n?,使p?n????h?n?,代入an?1?p?n?an?q?n?，得
h?n?1?an?1?h?n?an?q?n?,?h?n?1?an?1?h?n?an?h?n?1?q?n?，令b?n??h?n?an，
h?n?1??bn?1?bn?h?n?1?q?n?转化为类型2
对于这个方法我更喜欢把它叫做待定函数法，这篇数学文字里处处体现着形式主义数学的魅力。数学的形式美!
例题6.已知数列?an?满足a1?1,且an?1??n?1?an??n?2?!，求an
解：令
h?n?h?n??n?1?!
?n?1,?由类型3可求得?h?n?1?h?n?1?n!?an?1??n?1?!an!n??n?2?!?aan?1a?n??n?2?，记bn?n
n!?n?1?!n!n2?3n?2n! 则bn?1?bn??n?2?，再用类型2的方法求出an?2q类型7.递推公式为an?1?pan?an?0?
对数最大的作用是：把二级（乘除运算）转化为一级（加减）运算，而（加减号组成的迭代函数能被轻易的搞定！） 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an?1?pan?q，再利用待定系数法求解。
12?an(a?0)，求数列?an?的通项公式. a121解：由an?1??an两边取对数得lgan?1?2lgan?lg，
aa112n?1令bn?lgan，则bn?1?2bn?lg，再利用待定系数法解得：an?a()
aa例题7：已知数列｛an｝中，a1?1,an?1?类型8. 递推公式为an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。 法1：先把原递推公式转化为an?2?san?1?t(an?1?san)
?s?t?p其中s，t满足?，再应用前面类型3的方法求解。
st??q?解法2. 对于由递推公式
an?2?pan?1?qan，a1??,a2??给出的数列?an?，方程
x2?px?q?0，叫做数列?an?的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x1?x2时，
n?1n?1??aa?Ax?Bxn12，数列的通项为n其中A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2n?1n?1?a?a?Ax?Bxn?1,2n12和，代入，得到关于A、B的方程组）；当x1?x2时，数列nn?1a?(A?Bn)xn1的通项为，其中A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，n?1a?(A?Bn)x1，得到关于A、B的方程组）代入n。
这里本人更推崇第一种方法，对于高中生而言，做得明白，搞得清楚，第二种解法实质上微分方程里面解法的延伸而已，但是对于高中生而言理解难度就稍稍大了点。这也说明了中国教育的神奇，学生根本搞不懂这个方法，居然能用的很熟练，直接无语啊！这种不求甚解的学习是要不得的。希望有关老师注意引导。