例题8. 已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?解法一（待定系数法）：由an?2?21an?1?an，求an 3321an?1?an可转化为an?2?san?1?t(an?1?san) 33即an?22?1s?t??s?1?????s??3?(s?t)an?1?stan????3 1或?1t???st???3???t?1?3??s?1?这里不妨选用?1（当然也可选用
t???3?1??s??3，大家可以试一试），则???t?111an?2?an?1??(an?1?an)??an?1?an?是以首项为a2?a1?1，公比为?的等比数列,
331n?1所以an?1?an?(?),应用类型2的方法，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得
311?(?)n?11113(n?1)个等式累加之，即an?a1?(?)0?(?)1????????(?)n?2?
13331?3731n?1又?a1?1，所以an??(?)。
443211212解法2：an?2?an?1?an 的特征方程为x?x?，特征根为x1?1,x2??，
33333?1??an?p?q????3?n?1由于a1?1,a2?2,解得p?73731,q??所以an??(?)n?1。
44344an?1?类型9.递推公式为
pan?qran?h 型（特别的情形是：an?1?an） pan?1
?1?px?q??x?a?xxrx?h,当特征方程有且仅有一根0时,则?n0?是等差数列;解法：可作特征方程
?an?x1???a?x??2?是等比数列。说明：形当特征方程有两个相异的根1、2时，则?nan?如:
man?1k(an?1?b)递推式，考虑函数倒数关系有
11111k1bn??k(?)?k??an则?bn?可归为an?1?pan?q型。(取倒anan?1m?anan?1m令
数法)
在这里补充两种特殊形式： （I）an?Aan?1?B型合分比定理
Ban?1?AanAan?1?Ba?1(A?B)an?1?(A?B)A?Ban?1?1，用下合分比定理：n???()[]
1Ban?1?Aan?1(A?B)an?1?(A?B)A?Ban?1?1
（II）an?Aan?11f(n)C1型倒数法：然后再用“病灶分析法”直?an?1?f(n)an?1?CanAAan?1接秒杀。或者直接转类型6
例题9.数列式.
{an}满足a1?1且8an?1an?16an?1?2an?5?0(n?1).求数列{an}的通项公
2an?52x?515x?x?或x?16?8an，其特征方程为16?8x，解之，得24
512(an?)54?an?1??416?8anan?1?解：由已知，得
16(an?)12?an?1??216?8an，
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1111an?an?a1?2?12?2?2?(1)n?1??4?n5255522an?1?an?an?a1?44，44 an?1?2n?1?5an?n2?4
2an?p类型10.an?1?型
2an?q2an?px2?p解法;特征方程为x?求出特征根x1??,x2??.则an?1?可变为
2x?q2an?qan?1???an???an??2??,记b?,则bn?1?bn再用对数变换法或迭代法求解。 ?nan?1???an???an??
2an?3例题10. 已知数列?an?中，a1?4,an?1?，求an
2an?42
2x2?3an?3解：an?1?的特征方程为x?，特征根为x1?1,x2?3
2x?42an?4an?1?1?an?1?an?132?1?12n?1??? ?3，即an?2n?1?，利用对数代换法易求得an?1?3?an?3?an?33?1类型11. 双数列型
2n?1?an?1?pan?qbn递推公式为?确定an,bn.
b?sa?tbnn?n?1解法：待定系数法转化为等比数列，或转化为类型8而求解
解法二：矩阵相似变换
n?an?1??pq??an??pq??a1???????b??...?????bst??n??st??b1??n?1???pq?A???,?st?A?X?1?X??diag(?1,?2)An?X?1?nX?n?diag(?1n,?2n)?an?1??pq??a1??a1??1nn??Xdiag(?,?)X?????12??b?bst??1??b1??n?1??n
?an?1?an?bn例题11.若数列?an?,?bn?满足?,a1?1,b1?4,求an,bn
b?4a?5bnn?n?1
解：an?1?tbn?1??1?4t?an???1?5t?bn??1?4t??an?tbn?????1?5t??1?4t?t??bn
另???1?5t??1?4t?t??=0解得t1?t2?111??，故an?1?bn?1?3?an?bn?， 222??11?an?bn?3?3n?1?3n,an?3n?bn,代入bn?1?4an?5bn,并整理得
22bn?1?3bn?4?3n用类型5的方法易求得bn?4n?3n?1,故an??3?2n??3n?1
22类型12. 递推公式为an?1?pan?qan?rq?4pr?2q
???qq??p?an?解法：递推式可以变形为an?1??再用对数代换法求解。 2p2p??2例题12. 已知数列?an?中，a1?1,an?1?3an?12an?10，求an
2解：an?1?3an?12an?10变形为an?1?2?3?an?2?由对数代换法易求得
22an?2?32?an?32?2
类型13.其他类型
n?1n?1
用换元法，数学归纳法，构造法，等方法求递推数列通项公式（关键在于仔细辨析递推关系式的特征，通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明。） 例题13.设a0?1,an?21?an?1?1an?1?n?N?,求通项公式a*n
???解:易知an?0，构建新数列??n?，使an?tan?n,?n??0,?
?2?an?1?tan2?n?1?1tan?n?1?1?cos?n?1??tann?1
sin?n?12?tan?n?tan?n?1,?n??n?1又a0?1,a1?22??2?1?tan ,从而?1?,
88∴新数列??n?是以
1?为首项，为公比的等比数列.
28?1?∴?n????2?n?1??8??2n?2∴an?tan?2n?2
例题14. 已知数列{an}满足an?1?an?式。
解：由an?1?an?8(n?1)8，a?，求数列{an}的通项公1229(2n?1)(2n?3)8(n?1)8及，得 a?19(2n?1)2(2n?3)2a2?a1?8(1?1) 22(2?1?1)(2?1?3)?88?224 ??99?2525a3?a2?8(2?1)(2?2?1)2(2?2?3)2
248?348???2525?49498(3?1)(2?3?1)2(2?3?3)2
488?480???4949?8181a4?a3?
(2n?1)2?1由此可猜测an?，往下用数学归纳法证明这个结论。 2(2n?1)(2?1?1)2?18（1）当n=1时，a1??，所以等式成立。
9(2?1?1)2(2k?1)2?1（2）假设当n=k时等式成立，即ak?，则当n?k?1时， 2(2k?1)8(k?1) 22(2k?1)(2k?3)ak?1?ak?(2k?1)2?18(k?1)??(2k?1)2(2k?1)2(2k?3)2[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)(2k?3)?(2k?3)?8(k?1)(2k?1)2(2k?3)2222
(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)2?(2k?1)2(2k?3)2(2k?3)2?1[2(k?1)?1]2?1 ??(2k?3)2[2(k?1)?1]2由此可知，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）（2）可知，等式对任何n?N* 例题15. 已知数列{an}满足an?1?式。
解：令bn?1?24an，则an?故an?1?1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公1612(bn?1) 24
121(bn?1?1)，代入an?1?(1?4an?1?24an)得 24161211(bn?1?1)?[1?4?(b2n?1)?bn] 2416242即4b2n?1?(bn?3)