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??1???0???其中:L??a(1)21a(1)???11?1??????? 显然, L1非奇异;对任何??x ?0, 有: L1x?0
?a(1)???n1?a(1)?????1?11??? A正定,
? ?LT1x?A?L1x??xT(LT1AL)1x?0，? LT1AL1正定;
又: LT??a(1)110?1AL1=?0A(2)?? 而 a(1)11?0 故A(2)正定; (1)n(1) 当A对角占优时, |aii|??|a(1)ij| i?jn |a(2)(2)(1(1)(1)(1n)ii|??a|ij?||aii?)ai1a1i/a11|?a(ij?aia1j/1a|1 1i?ji??|1)(1)j,j?2 ?1?a(1)?|a(1)(1)(1)(1)n(1)(1)(1)(1)?11?iia11?ai1a1i|??|aija11?ai1a1j|?
i?j,j?2?
?1??|a(1)(1)(1)(1)n(1)(1)(1)?a(1)11?iia11|?|ai1a1i|??(|aija11|?|ai1a(1)1j|)? i?j,j?2??1?nn
a(1)?|a(1)11|(a(1)(1)(1)(1)|??ii??|aij|)??|ai1a1j?
11i?j,j?2i?j,j?1??1?a(1)?|a(1)|(a(1)n?|a(1)|)?(1)n
(1)?11?11ii??ij|ai1|j,j?2i??|a1j|? ij,j?1??1?a(1)?|a(1)(a(1)n
(1)|a(1)(1)?11?11|ii??|aij|)?i1||a11|?
i?j,j?2? ?1?na(1)?|a(1)|?|a(1)?11?11?ij|??0 i?j,j?1?故 A(2对角占优)
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4.证明 (1)两个单位上(下)三角形矩阵的乘积仍为单位上(下) 三角形矩阵;
(2)两个上(下)三角形矩阵的乘积仍为上(下) 三角形矩阵.
证明:
(1) 不妨考虑证单位下三角矩阵,单位上三角矩阵证明方法相同
?0，j?i?0，设 AB=C 其中:A???1，j?i;B??j?i?1，j?i;C?(cij)n?n
??aij,j?i??bij,j?ii当i
nic
ij??aikbkj??1?aikbkjkk?j n当i=j时， cii??aikbki?aiibii?1
k?1当i>j时
nicij??a，所以,C为单位上三角矩阵
ikbkj??1?aikbkjkk?j(2) 证明方法类似(1)
5．证明单位上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上(下)三角形矩阵; 非奇异上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上(下)三角形矩阵; 证明:……………………………………………………………………
6.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组
???2?235?1?2????x1???1?（1）?12??x???2??253?2??x??4? 3??7??1323????x???4??0?
?1???1?2解：L???1??13???2?2??5??11??2)? X(0U?31?3???2??5???1?????2?1?7?????12??2? y? x???
?9??2?3???????2?2????1?18
???2211????
??1234??x1??2?（2）?14916?????x???2???10? ?182764??11681256????x3??44??x???4??190?解：
??1??1234?L??11????? U??2612? ?131?? ?1761???624??24??
??81?3627?18????x1??252?（3）??36116?6268x???2148??????? ?27?6298?44??x3???1868?4490????74??x???4??134?解：
??9??28??4?L???410???? y??26???? x??3? ?3?58??15??2???26?17????7????1??
??42.423?（4） ?2.45.4445.8??x1??12.280?????x????216.928?245.217.45??x??? 3??22.957?35.87.4519.66????x????4??50.945?解
3????2?y??8???18?? ?24?????3?????1?? x??1?? ??1??1?? 19
??2?L??1.22?????6.14????1.2? y??4.78?0.8??11.41.5??6.7??5 x???1.7?? ?1.522.13????6????2??
?7．求解矩阵方程?123??41?2??4710??X???144?6??。 ??142231????4514?17???123??1?41?2?111?解； X=??4710???144?6?=??000?
????142231???????4514?17????10?1??
8．用追赶法解线性代数方程组
??21??131??3???111????X??5?3??。
?21????3??解：b1?2 b2?3 b3?1 b4?1
a2?1 a3?1 a4?2 c1?1 c2?1 c3?1 l51?b1?2 u1?c1/l1?1/2 l2?b2?a2u1?2
u22?c2/l2?5 ， l?35 ， u573?b3?a3u23?c3/l3?3，l4?b4?a4u3??3 y31?2 yd782?(2?y1a)2/l2?5 y3?(d3?y2a)3/l3?3，y4?(d4?y3a4)/l4?1x4?y4?1 x3?y3?u3x4?1 x2?y2?u2x3?1 x1?y1?u1x2?1 ??1???? x?1??
?1??1??
10证明等价关系：
1n||x||1?||x||??||x||2?||x||1
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证明：?||x||??max1?i?n|xi|??n|x2i|?||x||2
i?1nnn又||x||xx||||x||11??|i|??max|xi|??||x||??n||?，所以
i?1i?11?i?ni?1n?||x||? 由Cauchy不等式知： ?nn|x2i|?i，所以：||x||1?||x||2
i?1?|x|i?1综上说述，即证。
11证明由 ||A|m|a|Axp|?x|p||x|定义的||?||是Rn?n中的范数。 |x|?||0|p|||?A||||(A?B)x||pp?max||x||?0证明：显然：
||x||p||AX||||A||p?0 且 ||A|p|??0A??P||x||?||||maxx||?0p||maxBx||px||?0||x||||B||p||A||pp任意常数? ||?A|p|?||?Ax|p||?|x|m?||a0x||x|p| ?m|x|?a||x||Ax|p|0||x| |p|
?|?|max||Ax||p||x||?0||x||=|?|||A||
p||A+B||=
max||(A?B)x||p||AX?Bx||p||AX||P?||Bx||p||x||?0||x||=
maxp||x||?0||x||?p||maxx||?0||x||p?||max||AX||Px||?0||x||?max||Bx||p||=||A||p+||B||p p||x||?0||xp
n12 证明||A||1?max1?j?n?|aij|
i?1证明：对任何||x||1?1 由于||xi||1?1 故
nnnn||Ax||1?max1?j?n?|aijxj|?maxi?11?j?n?|aij||xj|?maxi?11?j?n?|aij|，因此，||A||1?maxi?11?j?n?|aij|
i?1
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