习题五
1．求最小二乘拟合直线拟合如下数据。 (a) 36
xk -2 -1 0 1 2 yk 1 2 3 3 4 mxk?x)(yk?y)解：由b??(k?1a?y?b*x。其中x?1?m(xm?mx?1?m，k，yyk。
k?x)2k?1mk?1k?1?0mm计算可得x，y?2.6，
?(xk?x)(yk?y)?7，(x?x)2?10。 k?1?kk?1? b?0.7，a?y?b*x?2.6，该组数据的最小二乘拟合直线为：y?2.6?0.7x
(b)
xk -4 -2 0 2 4 yk 1.2 2.8 6.2 7.8 13.2 m解：解法同上题。用matlab计算得x?0，y?6.24，
?(xk?x)(yk?y)?58，
k?1?m(x2k?x)?40。? b?1.45，a?y?b*x?6.24
k?1该组数据的最小二乘拟合直线为：y?6.24?1.45x （c）
xk 0.0 0.25 0.50 0.75 1.00 yk 1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183 解：解法同上题。
mm用matlab计算得x?0.5，y?1.7536，
?(xk?x)(yk?y)?1.0674，k?1?(xk?x)2?0.625。
k?1? b?1.7078，a?y?b*x?0.8997
该组数据的最小二乘拟合直线为：y?0.8997?1.7078x
2．求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。(a)
xk 1.0 1.1 1.3 1.5 1.9 2.1 yk 1.84 1.96 2.21 2.45 2.94 3.18 解：（1）一次最小二乘拟合多项式，做法如题一
mm37
x?1.4833，y?2.4300，?(x2k?x)?0.9683，?(xk?x)(yk?y)?1.1810，
k?1k?1?m(xk?x)(yk?y)b?k?1=1.2196，a?y?bx?0.6209
?m(xk?x)2k?1?该一次最小二乘拟合多项式为：p(x)?a?bx?0.6209?1.2196x
3.2离散点(*表示)和一次拟合多项式32.82.6y2.42.221.811.21.41.6x1.822.22.4
（2）二次最小二乘拟合多项式，设二次最小二乘拟合多项式为：p(x)?a0?a1x?a22x，由教材分析知，系数满足如下正规方程组：
??m??mx?m2??mkxkk?1k?1??m??a??y?k?0??k?1??xk?mx2k?mx3???m?ka??yx?，把表中的数值代入得： ?k?1k?1k?1??1???kk?mm?2???xkx3kk?1?k?1?x2??ak?1m?2???mk??k?1?????y2?kxk?k?1????68.914.17??a0??8.9??a0??0.5965807??8.914.1724.023?1724.02342.8629????a???22.808??a???1.253293?1?，解得????1??? ??14.???a2???38.0962????a2?????0.01085343???该二次最小二乘拟合多项式为：
38
p(x)?a0?a1x?a22x?0.5965807?1.253293x?0.1085343x2
3.2离散点(*表示)和二次拟合多项式32.82.6y2.42.221.811.21.41.6x1.822.22.4
3）三次最小二乘拟合多项式，设三次最小二乘拟合多项式为：
p(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3，由教材分析知，系数满足如下正规方程组：
??m?m3??mxky???mmx2kk?1?xkk?1k?1??m????kk?1??mx23??xkkk?m?a?m?x4k??0?k?1k?1?mxk?1k?1?a???ykxk?m?1??k?1???x2?m3mx4?kkk?m??a???mx?，把表中的数值代入得：
5k??k?1k?1?xk?1k?1m??2???yx2kk??a3??k?1?3??xkk?1?mmx45kxkk?1?k?1?mm?x6??k???y3?kxkk?1??k?1????68.914.1724.023???8.914.1724.02342.8629??a0??8.9?a??22.8080???14.1724.02342.862979.5192???1?a????，
2???24.02342.862979.5192151.8010????a??38.0962??3??67.1883?（
39
??a0????0.6290193?a1.185010?解得：?1??a???? 2??0.03533252??a??3???0.001004723???该三次最小二乘拟合多项式为：
p(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3?0.6290193?1.185010x?0.03533252x2?0.001004723x33.6离散点(*表示)和三次拟合多项式3.43.232.8y2.62.42.221.811.21.41.6x1.822.22.4
(b)
xk 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1 yk 102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 299.50 326.72 解：（1）一次最小二乘拟合，做法如题一
?mmx?5.4100，y?195.8390，(x2k?x)?10.7090，?(xk?x)(yk?y)?771.9531，
k?1k?1?m(xk?x)(yk?y)b?k?1m?72.0845，a?y?bx?-194.1382
?(xk?x)2k?1?该一次最小二乘拟合多项式为：p(x)?a?bx??194.1382?72.0845x
离散点(*表示)和一次拟合多项式40
350300250y2001501005044.555.5x66.577.5
（2）二次最小二乘拟合多项式，设二次最小二乘拟合多项式为：p(x)?a0?a1x?a2x2，由教材分析知，系数满足如下正规方程组：
?m?m2k??mxk?1?x??1??mk??y?kk??m2??xk?mx?m??a0?k?1x3??m?kk??a1??yx?，把表中的数值代入得： ?k?1k?1k?1?????kk?m?m?m????x2kx3x4???a2???k?1mkk??k?1k?1k?1?????yx2?kk?k?1????1054.1303.39??a0??54.1??a0??1.23556??54.1309.391759.8????a?1??11367?，解得
?a????1.14352???????1??6.61821? ?303.391759.810523???a2????68007????a2???????该二次最小二乘拟合多项式为：
p(x)?a0?a1x?a2x2?1.123556?1.14352x?6.61821x2