nn21
另一方面：设指标jo满足：
?|aiji?1o|?max1?j?n?|aij|
i?1定义x*如下：x*???1a?ijo?0 显然，*?||x||=1
??1aijo?0而且，?nAx?*nnjo??aijimaxi?1ox??|aij1o|?1?j?n?|aij|
i?i?1n从而，||Ax*||*1?||Ax||jo?max1?j?n?|aij|
i?1即成立：||A||1?max||x||||Ax||1?||Ax*||1?max11?j?n?n|aij|
i?1综上得命题成立
13研究线形代数方程组??1.0001.001??1.0001.000????x1???x???2.001?2??2.000?的性态，并求精确解，设近似解
??x~???2??||x?x||?0?，计算余量r?b?Ax以及近似解的相对误差?||x||
解：因为该线性方程组的系数矩阵的逆矩阵为：?? -1000 1001?? 1000 -1000??
条件数为4.0020e+003，远大于1。所以其为病态的，其精确解为：x???1???1?
余量为：r=??2.001????2.000????1.0001.001??2??1.0001.000????0????0.001??0?? ||?x?x||?||??1??1?||~x?1??||?1.4142，||x||?||?x||?1??||?1.4142，所以：
??||x||?100%
14．计算Hilbert矩阵
??1??1121??????1311n122
Hn???234n?1??????? ???1111??nn?1n?2?2n?1??解：先求出H?113,H4,H5,H6的逆矩阵H3,H?14,H?15,H?6
然后，计算||H?13||, ||H3|| , ||H4|| , ||H?1?14|| , ||H5||, ||H5||||H?16||,得出：cond(H3)?748 cond(H4)?3?103 cond(H5)?9?105 cond(H6)?6?107
15．求用雅克比迭代解下列线性代数方程组的两次迭代解（取初始向量X(0)＝0）。??3x1?x2?x3?1,?10x1?5x2?6,5x?10x?4x?25,(1)??3x?6x
(2)?23?12?2x3?0, ?1??4x2?8x3?x4??11,
?3x1?3x2?7x3?4;???x3?5x4??11;解：（1）雅可比迭代式为：
??x(k?1)1?1(1?x(k)?(k)?32x3)??0??x(k?1)1(k)(k)(0)???2?6(?x1?2x3)，取x??0?
??0???x(k?1)1?3x(k)(k)??3?7(41?x2)??1???1?3??7??则 x(1)???0?? x(2)??5????14
?4????7????3??7???
||H6||, ,
?(k?1)?x1??x(k?1)?2（2）雅可比迭代式为 ??x(k?1)?3?(k?1)?x41(k)(6?5x2)101(k)?(25?5x1(k)?4x3)10 1(k)(k)?(?11?4x2?x4)81(k)?(?11?x3)?23
?5??3??1??5???3??0???5??20?取x(0)??0?，则 x(1)????33??2???20???0??? (2)? ?0????11 x?????2?8????11??5???5?????99?40??
16．若要求精度x(k)?x??10?3，仍用雅克比迭代求解15题，至少需迭代多少次？解：1） 雅可比迭代矩阵为：
??01?3?1?3?B1J????0?1??3? ||BJ||? 0.8084 ?2?????37?370???由公式K????ln??1?||BJ||???||x(1)?x(0)||ln(||BJ||)知，需要10次迭代 ?（2）雅可比迭代矩阵为：
24
??0100??2???102?B??250??J??11?，同上，需要22次迭代。 ?00?28???1?0050???
17．求用高斯－塞德尔迭代求解15题的两次迭代解（取初始向量X(0)＝0）。（1）高斯赛德迭代式
??x(k?1)1?1(1?x(k)(k)2?x3)?3??x(k?1)?1(?x(k?1)(k)21?2x3)
?6??(k?1)1(k?1)(k?1)?x3?7(4?3x1?x2)?1??1??0???3????9??取x(0)??1 x(2)2?0???，则 x(1)????? ????
?0???6?????9???1??13??2????21??（2）高斯赛德迭代式
??x(k?1)?11?10(6?5x(k)2)?x(k?1)?2?1(25?5x(k?1)(k)?101?4x3)?x(k?1)?3?1
8(?11?4x(k?1)(k)2?x4)??(k?1)?x4?15(?11?x(k?1)3)??0??0.6000???0.500?0取x(0)??0??(1)2.2000????? x(2)2.6400?0?? 则x????2.7500?????0.336??9 ?0?????2.2550?????2.267??4
25
18．求用SOR迭代（??1.1）求解15题的两次迭代解（取初始向量X(0)＝0）。 解：（1）
??x(k?1)(k)1.1(1?x1?(?3xk)1?1?x(k)?x(k))?323??x(k?1)?x(k)?1.1(?6x(k)?1)(k)2?x(k1?2x3) k=0,1, ?226???x(k?1)3?x(k)3?1.17(?7x(k)(k?1)(k?1)3?4?3x1?x2)?取x(0)??0??0??0.3333????，则 x(1)????0.1833?? x(2)??0.0492???0.192??0????0.5007???0.5880?3 ?????x(k?1)?x(k)1.111?10(?10x(k)(k)1?6?5x2)??x(k?1)?x(k)1(k)(k)2?2）?2（?10(?10x2?25?5x(k?1)1?4x3) k=0,1,
??x(k?1)3?x(k)1(k)(k?1)(k)3??8(?8x3?11?4x2?x4)??x(k?1)4?x(k)1(k)(k?1)4?5(?5x4?11?x3)??0??0.6000???0.653?5取x(0)??0??? 则x(1)2.1700????? x(2)??2.5625? ?0?????0.1815???0.255??0???4??2.2399?????2.032??2
19．设有线性代数方程组
??2x1?x2?x3??1,?2x1?2x2?2x3?4, ???x1?x2?2x3??5;（1） 判断雅克比迭代的收敛性； （2） 判断高斯—塞德尔迭代的收敛性。 解：（1）雅克比迭代矩阵