19．甲、乙两人准备整理一批新到的图书，甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理30分钟才能完工．问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工？ 【考点】分式方程的应用． 【专题】工程问题．
【分析】将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可． 【解答】解：设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：
=1，
解得x=100，
经检验x=100是原分式方程的解． 答：乙单独整理100分钟完工．
【点评】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．
20．下表中，y是x的一次函数． x y ﹣2 6 1 ﹣3 2 ﹣6 4 ﹣12 5 ﹣15 （1）求该函数的表达式，并补全表格；
（2）已知该函数图象上一点M（1，﹣3）也在反比例函数y=图象上，求这两个函数图象的另一交点N的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式． 【专题】计算题．
【分析】（1）设y=kx+b，将点（﹣2，6）、（5，﹣15）代入可得函数解析式，也可补全表格； （2）将点M的坐标代入，可得m的值，联立一次函数及反比例函数解析式可得另一交点坐标． 【解答】解：（1）设该一次函数为y=kx+b（k≠0）， ∵当x=﹣2时，y=6，当x=1时，y=﹣3， ∴
，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y=﹣3x，
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当x=2时，y=﹣6； 当y=﹣12时，x=4． 补全表格如题中所示．
（2）∵点M（1，﹣3）在反比例函数y=上（m≠0）， ∴﹣3=， ∴m=﹣3，
∴反比例函数解析式为：y=﹣，
联立可得，
解得：或，
∴另一交点坐标为（﹣1，3）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是熟练待定系数法的运用，难度一般．
21．901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团（2015?黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：∠BCP=∠BAN （2）求证：
=
．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
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【分析】（1）由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论．
（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AC为⊙O直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠NAC+∠ACN=90°， ∵AB=AC， ∴∠BAN=∠CAN， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠ACP=90°， ∴∠ACN+∠PCB=90°， ∴∠BCP=∠CAN， ∴∠BCP=∠BAN；
（2）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB，
∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°， ∴∠PBC=∠AMN， 由（1）知∠BCP=∠BAN， ∴△BPC∽△MNA， ∴
．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理．
23．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
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（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围； （2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用． 【专题】销售问题．
【分析】（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．
（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w； 【解答】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台， y=200+50×则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：
y=﹣5x+2200； ，化简得：
供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台， 则
解得：300≤x≤350．
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；
（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200）， 整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000． ∵x=320在300≤x≤350内， ∴当x=320时，最大值为72000，
即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．【点评】本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识．
24．定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；
（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；
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，
（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用
圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．
【考点】四边形综合题． 【专题】新定义．
【分析】（1）根据对等四边形的定义，进行画图即可；
（2）连接AC，BD，证明Rt△ADB≌Rt△ACB，得到AD=BC，又AB是⊙O的直径，所以AB≠CD，即可解答；
（3）根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答．
【解答】解：（1）如图1所示（画2个即可）．
（2）如图2，连接AC，BD，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ACB=90°， 在Rt△ADB和Rt△ACB中，
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