∴Rt△ADB≌Rt△ACB， ∴AD=BC，
又∵AB是⊙O的直径， ∴AB≠CD，
∴四边形ABCD是对等四边形． （3）如图3，点D的位置如图所示：
①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；
②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11， 过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F， 设BE=x， ∵tan∠PBC=∴AE=
，
，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2， 即
，
解得：x1=5，x2=﹣5（舍去）， ∴BE=5，AE=12， ∴CE=BC﹣BE=6，
由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12， 在Rt△AFD2中，∴
，
或12+
．
， ，
综上所述，CD的长度为13、12﹣
【点评】本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．在（3）中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用．
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25．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．
【分析】（1）由y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先令﹣x2+2x+3=0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（a，3﹣a），即可得D（a，﹣a2+2a+3），即可求得PD的长，由
2
S△BDC=S△PDC+S△PDB，+即可得S△BDC=﹣（a﹣）
，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC
的面积最大时，求点P的坐标；
（3）首先过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，然后分别从点M在EF左侧与M在EF右侧时去分析求解即可求得答案． 【解答】解：（1）由题意得：解得：
，
，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）令﹣x2+2x+3=0， ∴x1=﹣1，x2=3，
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即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′， ∴
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3）， ∴PD=（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）=﹣a2+3a， ∴S△BDC=S△PDC+S△PDB =PD?a+PD?（3﹣a） =PD?3 =（﹣a2+3a） =﹣（a﹣）2+
，
∴当a=时，△BDC的面积最大，此时P（，）；
（3）由（1），y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴OF=1，EF=4，OC=3，
过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1， 当M在EF左侧时， ∵∠MNC=90°， 则△MNF∽△NCH， ∴
，
设FN=n，则NH=3﹣n， ∴
，
即n2﹣3n﹣m+1=0，
关于n的方程有解，△=（﹣3）2﹣4（﹣m+1）≥0，
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得m≥且m≠1；
当M与F重合时，m=1；
当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°， 作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°， ∵FM=EF=4， ∴OM=5，
即N为点E时，OM=5， ∴m≤5，
综上，m的变化范围为：﹣≤m≤5．
【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
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