24．（8分）如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向．求货船的航行速度．（精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.41，≈1.73）
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题． 专题： 行程问题． 分析： 由已知可得AB⊥PQ，∠QAP=60°，∠A=30°，AP=56海里，要求货船的航行速度，即是求PB的长，可先在直角三角形APQ中利用三角函数求出PQ，然后利用三角函数求出PB即可． 解答： 解：设货船速度为x海里/时， 4小时后货船在点B处，作PQ⊥AB于点Q． 由题意AP=56海里，PB=4x海里， 在直角三角形APQ中，∠APQ=60°， 所以PQ=28． 在直角三角形PQB中，∠BPQ=45°， 所以，PQ=PB×cos45°=2x． 所以，2x=28， 解得：x=7≈9.9． 答：货船的航行速度约为9.9海里/时． 点评： 本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，两次运用了三角函数，并巧妙运用了两个三角形的公共边PQ． 25．（8分）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨． （1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是 ?? 60． 吨；
（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？ 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 销售问题． 分析： （1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨． （2）设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元做为等量关系可列出方程求解． 解答： 解：（1）45+×7.5=60；（2分） ?2010-2013 菁优网
（2）设当售价定为每吨x元时， 由题意，可列方程（x﹣100）（45+2×7.5）=9000．（2分） 化简得x﹣420x+44000=0． 解得x1=200，x2=220．（6分） 当售价定为每吨200元时，销量更大， 所以售价应定为每吨200元． 点评： 本题考查理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解． 26．（10分）如图直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（0，3），点M在线段AB上． （1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为2，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由； （2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．
考点： 一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；切线的性质． 专题： 综合题． 分析： （1）设线段OB的中点为D，证明MD=2，且MD⊥OB即可； （2）先利用待定系数法求得直线AB的解析式：y=x+3，根据切线的性质得到点M到x轴、y轴的距离都相等，设M（a，﹣a）（﹣4＜a＜0）．代入y=x+3，即可求得a的值，即得到M的坐标． 解答： 解：（1）直线OB与⊙M相切． 理由：设线段OB的中点为D，连接MD． 因为点M是线段AB的中点， 所以MD∥AO，MD=2． 所以MD⊥OB，点D在⊙M上． 又因为点D在直线OB上， 所以直线OB与⊙M相切； （2）解法一：可求得过点A、B的 一次函数关系式是y=x+3， 因为⊙M与x轴、y轴都相切， 所以点M到x轴、y轴的距离都相等． 设M（a，﹣a）（﹣4＜a＜0）． 把x=a，y=﹣a代入y=x+3， 得﹣a=a+3，得a=﹣所以点M的坐标为（﹣
． ，）．
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解法二：连接ME、MF． 设ME=x（x＞0），则OE=MF=x， 因为一次函数关系式是y=x+3， 所以AE=x，所以AO=x． 因为AO=4，所以，x=4． 解得x=． ，）． 所以点M的坐标为（﹣ 点评： 本题考查了利用待定系数法求直线的解析式的方法以及一次函数的性质．也考查了圆的切线的判定与性质． 27．（8分）（1）学习《测量建筑物的高度》后，小明带着卷尺、标杆，利用太阳光去测量旗杆的高度． 参考示意图1，他的测量方案如下：
第一步，测量数据．测出CD=1.6米，CF=1.2米，AE=9米． 第二步，计算．请你依据小明的测量方案计算出旗杆的高度．
（2）如图2，校园内旗杆周围有护栏，下面有底座．现在有卷尺、标 杆、平面镜、测角仪等工具，请你选择出必须的工具，设计一个测量方案，以求出旗杆顶端到地面的距离． 要求：在备用图中画出示意图，说明需要测量的数据．（注意不能到达底部点N对完成测量任务的影响，不需计算） 你选择出的必须工具是 卷尺、测角仪． ；需要测量的数据是 ∠α、∠β的度数和PQ的长度． ．
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考点： 相似三角形的应用；解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 专题： 操作型． 分析： （1）易得△ABE∽△CDF，利用相似三角形对应边的比等于相似比可得旗杆的高度； （2）可在地面选取一点P，测得视线与水平线的夹角，进而走向旗杆底部Q点，测得PQ的长度和在Q处与旗杆顶部视线与水平线的夹角，利用两个角的正切值及MN表示出PN，QN，根据PQ的长度即可求得旗杆的高度MN． 解答： 解：（1）设旗杆的高度AB为x米． 由题意可得，△ABE∽△CDF．（1分） ∴=．（2分） ∵CD=1.6米，CF=1.2米，AE=9米， ∴=． 解得x=12米．（4分） 答：旗杆的高度为12米； （2）示意图如图，答案不唯一；（6分） 需要测得∠α、∠β的度数和PQ的长度， 故答案为卷尺、测角仪；∠α、∠β的度数和PQ的长度．（8分） 点评： 考查相似三角形及解直角三角形的应用；利用解直角三角形的知识设计方案是解决本题的难点． 28．（10分）（1）如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ． ①求证：△ABP≌△ACQ； ②若AB=6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长． （2）已知，△EFG中，EF=EG=13，FG=10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF'G'的位置，点M是边EF'与边FG的交点，点N在边EG'上且EN=EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．
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考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的性质． 专题： 综合题． 分析： （1）①根据正三角形的性质知∠BAC=∠PAQ=60°，所以∠BAC﹣∠PAC=∠PAQ﹣∠PAC；然后再由等边三角形的边都相等知AB=AC，AP=AQ；从而根据全等三角形的判定定理SAS来证明△ABP≌△ACQ； （2）作辅助线“过点E作底边FG的垂线，点H为垂足”构建直角三角形，然后根据旋转的性质先证明△EFM≌△EGN（SAS）；最后求得∠ENG=∠EMF=90°、EM=12，即点E到直线GN的距离是12． 解答： 解：（1）①∵三角形ABC和三角形APQ是正三角形， ∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ， ∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAQ﹣∠PAC， ∴∠BAP=∠CAQ， ∴△ABP≌△ACQ ②如图：当点P由点B运动到点C时，点D运动路线为DD′， ∵AD=CD，AD′=D′Q′， ∴DD′=CQ′=AB=3； ∴点D运动路线的长为3． （2）解法一： 过点E作底边FG的垂线，点H为垂足． 在△EFG中，易得EH=12． 类似（1）可证明△EFM≌△EGN， ∴∠EFM=∠EGN， ∵∠EFG=∠EGF， ∴∠EGF=∠EGN， ∴GE是∠FGN的角平分线， ∴点E到直线FG和GN的距离相等， ∴点E到直线GN的距离是12． 解法二： 过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．过点E作直线 GN的垂线，点K为垂足，
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