§3 层 次 分 析 模 型
一 引 言
人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的……及花的、白的、方格的……之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴或去饭店，是吃中餐还是西餐或自助餐；假期旅游，是去风光绮丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或者去山水甲天下的桂林．如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话，那么当你面临报考学校、挑选专业，或者选择工作岗位的时候，就要慎重考虑、反复比较，尽可能地作出满意的决策了．
从事各种职业的人也经常面对决策：一个厂长要决定购买哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策．
人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素．在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择(当然要根据客观实际)会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难．
T．L．Saaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称层次分析法(Analytic Hierarchy Process，简记AHP)，这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
二 层次分析法的基本步骤
1．几个步骤 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的．不妨用假期旅游为例，假如有P1，P2，
P3 3个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、
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费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较那3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注．其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如P1景色最好，P2次之；P2费用最低，P3次之；P3居住等条件较好等等．最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在P1，P2，P3中确定哪个作为最佳地点。 上面的思维过程可以加工整理成以下几个步骤：
（1）．将决策问题分解为3个层次，最上层为目标层，即选择旅游地，最下层为方案层，有P1，P2，P33个供选择地点，中间层为准则层，有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，各层间的联系用相连的直线表示(图1)．
（2）．通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重．这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法．
（3）．将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重．在层次分析法中要给出进行综合的计算方法．
层次分析法将定性分析与定量计算结合起来完成上述步骤，给出决策结果．下面我们来说明如何比较同一层各因素对上层因素的影响(或在其中的重要性)，从而确定它们在上层因素中占的权重．
2．成对比较矩阵和权向量 涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主要困难在于，这些因素通常不易定量地量测．人们凭自己的经验和知识进行判断，当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受．Saaty等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度．
假设要比较某一层，2个因素C1，C2，…，Cn对上层一个因素O的影响，如旅游
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决策问题中比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性．每次取两个因素Ci和CI，用aij表示Ci和CI对O的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵
表示．由于(1)式给出的aij的特点，A称为正互反矩阵．显然必有aii=1．如用C1，…，C5依次表示景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，设某人用成对比较法(做
C52?5?4次对比)得到的成对比较阵(正互反阵)为 2
(2)中a12=1/2表示景色C1与费用C2对选择旅游地这个目标O的重要性之比为1∶2；
a13=4表示景色C1与居住条件C3之比为4∶1；a23=7表示费用C2与居住条件C3之比
为7∶1．可以看出此人在选择旅游地时，费用因素最重，景色次之，居住条件再次．怎样由成对比较阵确定诸因素C1，…，Cn对上层因素O的权重呢?
仔细分析一下(2)式给出的成对比较阵A可以发现，既然C1与C2之比为1∶2，C1与C3之比为4∶1，那么C2与C3之比应为8∶1而不是7∶1，才能说明成对比较是一致的。但是，n个因素要作
n(n?1)次成对比较，全部一致的要求是太苛刻了．Saaty2等人给出了在成对比较不一致的情况下计算各因素Cl，…，Cn对因素O的权重的方法，并且确定了这种不一致的容许范围，为了说明这点我们先看成对比较完全一致的情况．
设想把一块单位重量的大石头O砸成n块小石头Cl，…，Cn，如果精确地称出它们的重量为?1，…，?n，在作成对比较时令aij=?i／?j，那么得到
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这些比较显然是一致的．n块小石头对大石头的权重(即在大石头中的重量比)可用向量w?(?1,?2,?,?n)表示，且比例因子．
一般地，如果一个正互反阵A满足
T??i?1ni=1．显然，A的各个列向量与w仅相差一个
则A称为一致性矩阵，简称一致阵．(3)式给出的A显然是一致阵．容易证明，2阶一致阵A有下列性质(习题1)．
（1）．A的秩为l，A的惟一非零特征根为n；
（2）．A的任一列向量都是对应于特征根，2的特征向量．
如果得到的成对比较阵是一致阵，像(3)式的A，自然应取对应于特征根n的、归一化的特征向量(即分量之和为1)表示诸因素C1，…，Cn对上层因素O的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵A不是一致阵，但在不一致的容许范围内(下面将说明如何确定这个范围)，Saaty等人建议用对应于A最大特征根(记作丸)的特征向量(归一化后)作为权向量w，即w满足
直观地看，因为矩阵A的特征根和特征向雩连续地依赖于矩阵的元素aij，所以当aij离一致性的要求不远时，A的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大．
(5)式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．求?和w的简便算法和特征根法更深入的意义，以及其它求权向量的方法见本节第三小节．
3．比较尺度 当比较两个可能具有不同性质的因素Ci和CI对于一个上层因素O的影响，采用什么样的相对尺度aij较好呢？Saaty等人提出用1-9尺度，即 的取值范围
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是1，2，…，9及其互反数1，1/2，…，1/9．
在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5种明显的等级，用1-9尺度可以方便地表示如下
目前在层次分析法的应用中，大多数人都用l-9尺度，(2)式中的A就是这个尺度．关于不同尺度的讨论也一直存在着．
4．一致性检验 成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于
特
征根特征向量
又的
作为被比较因素的权向
量，其不一致程度应在容许范围内．怎样确定这个范围呢?
前面已经给出n阶一致阵的特征根是n，在本节第三小节将证明的一个重要定理表明，，I阶正互反阵A的最大特征根?≥n，而当?=n时A是一致阵．
根据这个定理和?连续地依赖于aij的事实可知，?比n大得越多，A的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用?—n 数值的大小来衡量A的不一黎程度．Saaty将
定义为一致性指标．CI=0时A为一致阵；CI越大A的不一致程度越严重．注意到A的n个特征根之和恰好等于n(为什么?)，所以CI相当于除?外其余n-1个特征根的
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