平均值．
为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的一致性指标CI的标准．Saaty又引入所谓随机一致性指标RI，计算RI的过程是：对于固定的n，随机地构造正互反阵A，(它的元素ai?j（i 如此构造相当多的A?，用它们的CI的平均值作为随机一致性指标．Saaty对于不同的n，用100--500个样本A?算出的随机一致性指标RI的数值如下*． 表中n=l，2时RI=0，是因为1，2阶的正互反阵总是一致阵． 对于，2≥3的成对比较阵A，将它的一致性指标CI与同阶(指n相同)的随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR，当 时认为A的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．(7)式中0.1的选取是带有一定主观信度的． 对于A利用(6)，(7)式和表2进行检验称为一致性检验．当检验不通过时， 要重新进行成对比较，或对已有的A进行修正． 对于(2)式给出的A可以算出*， ?=5.073，归一化的特征向量w= (0.263，0.475， T0.055，0.099，0.110)．由(6)式CI?5.073?5?0.018，在表2中查出RI=1.12．按 5?1(7)式计算，CR=0.018-0.016<0.1，一致性检验通过，上述w可作为权向量． 5．组合权向量 在旅游决策问题中我们已经得到了第2层(准则层)对第1层 (目标层，只有一个因素)的权向量，记作w(2)?(?1(2),?,?5)T (即由(2)式的A算出的 (2)w)．用同样的方法构造第3层(方案层，见图1)对第2层的每一个准则的成对比较阵，不妨设它们为 第 139 页 这里矩阵Bk(k=1，…，5)中的元素bij费用等)的优越性的比较尺度． 由第3层的成对比较阵Bk计算出权向量wk(3)(k)是方案(旅游地)Pi与Pj对于准则Ck (景色、 ，最大特征根?k和一致性指标 CIk，结果列入下表． 不难看出，由于n=3时随机一致性指标RI=0.58(表2)，所以上面的CI是均可通过一致性检验． 下面的问题是由各准则对目标的权向量w(2)和各方案对每一准则的权向量 (3)wk(3)(k=1，…，5)，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量，记作w(3)．对 (3)于方案P它在景色等5个准则中-的权重用wk1，的第1个分量表示(表3中wk(2)的 第1行)，而5个准则对于目标的权重又用权向量w组合权重应为它们相应项的两两乘积之和，即 表示，所以方案P1在目标中的 同样可以算出P2，P3在目标中的组合权重为0.246和0.456，于是组合权向量 第 140 页 w(3)=(0.300，0.246，0.456)T．结果表明方案P3在旅游地选择中占的权重近于1/2， 远大于P1，P2，应作为第l选择地点． 由上述计算可知，对于3个层次的决策问题，若第1层只有1个因素，第2，3层分别有n，m个因素，记第2，3层对第1，2层的权向量分别为 以wk(3)为列向量构成矩阵 则第3层对第l层的组合权向量为 更一般地，若共有5层，则第是层对第l层(设只有1个因素)的组合权向量满足 其中W是以第是层对第k-1层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层 (第5层)对最上层的组合权向量为 6．组合一致性检验 在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据． 组合一致性检验可逐层进行．若第户层的一致性指标为CI1是第p-1层因素的数目)，随机一致性指标为RI1(p)(p)(k) ，…，CIn(p) (n ，…，RIn(p)，定义 第 141 页 则第p层的组合一致性比率为 第p层通过组合一致性检验的条件为CR<0.1． 定义最下层(第5层)对第l层的组合一致性比率为 对于重大项目，仅当CR*适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验． 在旅游决策问题中可以算出CI=0.00176，RI=0.58，CR=0.003前面已经有CR=0.016，于是CR*=0.019，组合一致性检验通过，前面得到的组合权向量w(2) (3) (3) (3) (p) (3)可 以作为最终决策的依据． 7．层次分析法的基本步骤 （1）．建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有1个或几个层次，通常为准则或指标层．当准则过多时(比如多于9个)应进一步分解出子准则层． （2）．构造成对比较阵 从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响及)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和l-9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层． （3）．计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量(计算方法见本节第三小节)，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量；若不通过，需重新构造成对比较阵． （4）．计算组合权向量并做组合一致性检验 利用(10)式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果 第 142 页 进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较阵． 三．层次分析法的广泛应用 层次分析法在T．LSaaty正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用．二三十年来它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境等等领域．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等．这个方法在20世纪80年代初引入我国，也很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用． 从上面介绍的层次分析法的基本步骤看，建立层次结构模型是关键的一步，下面给出应用实例时即以这一步为主．构造成对比较阵是整个工作的数量依据，当然是重要的，应当由经验和知识丰富、判断力强的专家给出，还不妨采用群体判断的方式．至于第3，4步的计算工作，数学工作者是容易完成的． 例1 管理信息系统综合评价 当今任何部门每天都会接触到大量的信息，信息管理水平的高低直接关系着工作效率，甚至生存条件．财务、库存、销售、行政、……各种各样的管理信息系统(MIS)开发完成或准备推广时，通常要作全面的检查、测试和分析，AHP是进行综合评价的方法之一． 某一类管理信息系统的综合评价指标体系如下： 1．系统建设B1 ·科学性C11 规划目标的科学性，经济、技术、管理上的可行性； ·实现程度C12 是否达到系统分析阶段提出的目标； ·先进性C13 融合了先进的管理科学知识，有较强的适应性； ·经济性C14 投资——功能比； ·资源利用率C15 对软硬件、信息资源的利用程度； ·规范性C16 遵循国际标准、国家标准或行业标准，易于使用、维护和扩充． 2．系统性能B2 第 143 页