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那么要使bi*?bi??bi*?0成立，便要
'\ ?B????B'\\',?B]称为B的最优区间。 与?B分别称为B的上特征数与下特征数，而闭区间[?B?B因此对于最优区间中的每个?所对应的解
**TX?(b1??b1*,b2??b2,?,bm??bm) 2-6
都是最优解，这时目标函数的最大值为
f?f0??f0* 2-7
其中 f0*?CBB?1b* 2-8
与前一种参数线性规划不同，这里，对于B的最优区间中每个?，不但目标函数的最大值是?的函数，而是最优解也是?的函数。
现在我们考察对于最优区间外的其他?值，最优解的变化情况。
\首先，考察???B的情形。假设?B是在i?r时达到的，即
\?B??br*(br?0) 2-9 br*\??于是由???Bbr得 *brbr??br*?0 2-10
*即 xr?br??br?0 2-11 \这时如果单纯形表中第r行没有负数,则当???B时，问题无最优解；如果有负数，则用\对偶单纯形方法进行换基迭代，从而可得???B时的一个新的最优解。
''其次，考察???B的情形。假设?B是在i?t时达到的，即
'?B??bt*(b?0) 2-12 t*bt'??于是由???Bbt得 bt*6
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bt??bt*?0 2-13
即 xt?bt??bt*?0 2-14 这时再用对偶单纯形方法进行换基迭代，或判明无最优解。
2.2线性规划灵敏度分析
2.2.1什么是线性规划的灵敏度
当线性规划问题数据比较准确，约束条件比较完整时，得到的解对指导实际管理的可靠性就大。事实上，在生产过程中，工艺条件、资源数量、市场需求、市场价格等因素都在不断地变化，有些数据也是通过估计或预测得到的，带有不确定性，这时得到的解也就带有一定程度的不准确性。有些数据在一定范围内变化时，最优解可能改变也可能不变。例如，产品A市场价格为6元/件，一个月降到5元/件，这时产品A的生产量就有可能变化或者由于利润太低而不生产产品A。又如，原材料供应量变化或者改变工艺、增加新的产品等因素的变化，原决策方案就要随之改变。这些现象都是客观存在的。做为企业决策者必须随时掌握市场动态及数据资料的变化情况，及时调整决策方案，有效的利用线性规划这一工具，更好地指导实际工作，达到增加效益、降低成本的目的。
线性规划的灵敏度分析（Sensitive Analysis）也称为敏感性分析，它是研究和分析参数(cj,bi,aij)的波动对最优解的影响程度，主要研究下面两个方面：
（1） 参数在什么范围内变化时，原最优解或最优基不变；
（2） 模型发生变化（增减约束、变量，参数变化）时，最优解或最优基有何变化。 当模型的参数发生变化后，可以不必对线性规划问题重新求解，直接在原线性规划取得的最优结果的基础上进行分析或求解，既可减少计算量，又可根据参数的变化范围，及时对原决策做出正确的调整和修正。
2.2.2价值系数的灵敏度分析
为使最优解不变，求cj的变化范围。 设线性规划
maxZ?CX ?AX?b??X?07
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其中Am?n线性规划存在最优解，设最优基矩阵为
B?1?(?1,?2,???,?m),?i?(?1i,?2i,???,?mi) 2-15
检验数为
?j?cj?CBB?1P,j?1,2,???,n 2-16
要使最优解不变，即当c'j变化为cj?cj??cj后，检验数仍然是小于等于零，即
?'?1j?c'j?CBBPj?0 这时分cj是非基变量和基变量的系数两种情况讨论。 （1）cj是非基变量xj的系数
?''j?cj?CBB?1Pj?c1j??cj?CBB?Pj?c?1j?CBBPj??cj??j??c
j?0即?cj???j，当??c'j????cj时最优解不变，否则最优解就要改变。 （2）ci是基变量xj的系数
因ci?CB，当ci变化为ci??ci后?j后同时变化，令
?'?C'1j?cjBB?Pj?cj?(C?1B??CB)BPj?c?1j?CBBPj??C?1BBPj??j??C?1BBPj
??___j?(0,???,0,?ci,0,???,0)(a1j,a2j,???,amj)T??_j??ciaij?0__当aij?0时有???j时有?c?ja_，当aij?0i?。
ija_ij令
??max???j_??1j??_|aij?0??aij????min? ???j?j_ij?0?2?_|a??aij??2-17
2-18
8
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要使得所有?'j?0，有
?1??ci??2
只要求出上限?2及下限?1就可以求出?ci的变化区间。因?j?0，故?1?0，?2?0。具体计算?1，?2时可以按aij的符号分成两部分，分别求比值，然后在比值为负号中取最大者就是?1，比值为正号取最小者就是?2，当出现aij?0时，?ci可能无上界或无下界。
问题1.已知线性规划
__maxZ?x1?x2?3x3?x1?x2?2x3?40?x?2x?x?20 ?123??x2?x3?15??x1,x2,x3?0（1）求最优解
（2）分别求c1，c2，c3的变化范围，使得最优解不变
解 （1）加入松弛变量x4，x5，x6，用单纯形法求解最优表如表2-1所示。
表2-1
Cj CB 0 1 3 1 1 3 0 0 0 b XB x4 x1 x1 0 1 0 x2 -2 1 1 x3 0 0 1 x4 1 0 0 x5 0 1 0 x6 0 0 1 5 5 15 x3 ?j 0 -3 0 0 -1 -2 最优解为X?(5,0,15)T，最优值Z=50。
（2）x2为非基变量，x1，x3为基变量，则
?c2???2?3
9
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''?c2?(??2)?1?3?4或c2?(??,4] c2变化范围是c2对于c1：表2-1中x1对应行的系数a2j只有一个负数a26??1，有两个正数a22?1及
___a25?1，则有
_???2?5????3?1??1?max?_,_??max?.???1?11???a22a25??
???6???2?2?min?_???2?1??a26??'c1的变化范围是c1??1?c1'?c1??2，0?c1'?3或c1??0,3?
对于c3：表2-1中x3对应行a32?1，a36?1而a35?0，则有
___???2?6????3?2??1?max?_,_??max?,???2
11????a32a36??''?1或c3?c3无上界，即有?c3??2，c3的变化范围是c3??1,???。
'?c3??c3。分别计算非基对c3的变化范围，也可以直接从表退出，将c3?3写成c3变量的检验数并令其小于等于零
??2????3??c?0'?2'?c2?CBB?1P2?1?(0,1,3??c3)?13????1????1????1'?5'?c5?CBB?1P,3??c3)?1 5??(0,1????0????1????2??c?0?6'??(0,1,3??c3)??13????1????3??c3?0???1?0，要使?，?同时小于等于零，解不等式组?得?c3??2，同理，
?2??c?03?'5'2'6用此方法可求出c2和c1的变化区间。
2.2.3资源限量的灵敏度分析
为了使最优基B不变，求br的变化范围。设br的增量为?br，b的增量
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