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'?b?(0,???,0,?br,0,???,0)T,原线性规划的最优解为X，基变量XB?B?1b'?0。
'XB?B?1b'?B?1(b??b)?B?1b?B?1?b?XB?B?1?b 3-19
??1r????B?1?b?(?1,?2,?,?m)?b??br?2r? 3-20
??????mr??_??_?b??b?b11r1r???1r????????_??_?2r'b??b?b22r2r??0 3-21 XB?????b???????????????????__??mr?????bb??b?mm??rmr??既要满足
bi??br?ir?0,i?1,2,???,m 3-22
当?ir?0时有?br?_?bi_?ir，当?ir?0时有?br??bi_?ir。令
?_???b??1?max?|?ir?0?i????ir? 3-23
_????b??2?min?|?ir?0?i????ir?因而要使得所有xi'?0，?br，必须满足
?1??br??2
这个公式与求?ci的上、下限的公式类似，比值的分子都小于等于零，分母是B?1中第r列的元素，?br大于等于比值小于零的最大值，小于等于比值大于零的最小值。当某个?ir?0时，?br可能无上界或无下界。 问题2.已知线性规划
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maxZ?x1?x2?3x3??x1?x2?2x3?40??x1?2x2?x3?20 ?x2?x3?15??x1,x2,x3?0求b1，b2，b3分别在什么范围内变化时，原最优基不变。 由表2-1知，最优基B，B?1，XB分别为
?112???11?12?13??1?1?1?B?(p,p1,p3)???011?,B?1??????4??01?1??01???212223????0????31?32?33????001???b_?1? X??_??5???5?B??b2????5??,?XB???5?????b_??3??15?????15???? 对于b?11：比值的分母取B的第一列，这里只有?11?1，而?21??31?0，则????b_???51?max?1???????5
11??1?b1无上界，即?b1??5，因而b1在?35,???内变化时最优基不变。
对于b?12：比值的分母去B的第二列，?12?0，?22?0，则
????b_2???51?max???????22??1?5????b_1???52?min??????12???1?5
?5??b2?5即b2在?15,25?上变化时最优基不变。 对于b?13：比值的分母取B的第三列，有
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__?_???b1?b2?b3???5?5?15?,,????,,???5,5,?15? ?????1?11???132333??故有?15??b3?5，b3在?0,20?上变化时最优基不变
上述cj及bi的最大允许变化范围是假定其他参数不变的前提下，单个参数的变化范围，当几个参数同时在各自范围内变化时，最优解或最优基有可能改变。
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第三章 参数线性规划的数学建模
3.1实际问题的提出
根据市场要求，某生产单位可生产A、B、C三种产品，其所需专业技人员，材料等有关数据见表3-1。
表3-1
产 品 A B C 资 源 6 3 5 3 4 5 3 1 4 可用量 （单位） 45 30 技术力量 材料 产品利润（万元） 根据表3-1的资料，要求计算确定： 1）获得利润最大的产品生产计划；
2）产品A的利润在什么范围内变动，前面计算出的最优生产计划不发生变 化；
3）如果开发一种新产品D，单位技术力量消耗是8，材料消耗2单位，每 件新产品可获利3万元，如果从经济效益考虑，那么，这种新开发的产品是否值得生产；
4)该生产单位的技术力量数量是固定不变的,但生产材料不足时可以从市场购买,每单位购入价为0.4万元,那么,该单位要不要购入生产材料扩大生产,以购入多少最为适宜？这是一个实际生产的决策问题，下面按要求分别计算最优解，获取量化的最优决策。
3.2实际问题的分析与解决
3.2.1获利最大的生产计划模型
首先，根据表3-1的资料建立数学模型，设 A产品生产x1件 B产品生产x2件 C产品生产x3件
那么，最优生产计划的数学模型可以写成如下形式：
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maxz?3x1?x2?4x3?6x1?3x2?5x3?45 ?3x?4x?5x?30?123?x,x,x?0?123其次，将上述数学模型化为标准形式，以便利用单纯形法进行解算。加入松弛变量，得到以下标准形式：
maxz'?3x1?x2?x3?6x1?3x2?5x3?x4?45 ?3x?4x?5x?x?30?1235?x,x,x,x,x?0?12345用单纯形法求出上述线性规划问题的最优解。见表3-2
表3-2
cj 3 1 4 0 0 CB 0 0 基 bi 45 30 x1 6 3 3 x2 3 4 1 -1 x3 5 [5] 4 0 1 0 0 1 x4 1 0 0 1 0 0 x5 0 0 0 -1 ? x4 x5 cj?zj 9 6?min 0 4 x4 x3 cj?zj 15 6 [3] 5?min 10 3 53 51 0 3 4 x1 x3 cj?zj cj?zj 5 3 4 511? 51? 31 -2 0 0 0 0 d?3 31 31? 51? 5d4?? 351 54? 51? 32 53? 5d8? 35经过用单纯形法计算求得最优解,即能够获利润最大的生产计划: A产品生产5件,B产品不生产,C产品生产3件。
这样，可以获得最大利润，最大利润为maxZ=3×5+4×3=27(万元)
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