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3.2.2 A产品的利润变化区间的确定方法
产品A的利润在什么范围内变化,使得前面求出的最优生产计划(最大利润)不变呢?
设A产品的利润为d，将d带入表3-2中，把x1的系数换成
?d?3?3?0??d4????0 ?35?d8?3?5?0?则最优解不变。解上式得
d?3,d?93d4d412???,?,d? 35355d824?,d?355于是，得到这样的结论：第一临界值为
2412?1224?，第二临界值为，产品A利润在?,?55?55?范围内变化时，不会对原最优生产计划产生影响。
3.2.3关于开发新产品的决策研究
按照前面的材料及要求，如果生产新产品D，要消耗单位技术力量8，材料消耗2单位，每件产品利润为3万元，从经济效益考虑是否值得生产？针对这种问题，可以重新建立数学模型，求出最优解，与原最优解对比。以确定是否生产新产品。但实际工作中，尤其是比较复杂的生产决策问题，如果用下面的方法处理，似更简单直观。其原理和结果都是一样的。
T设：增加新产品D生产x6件，则C6?3，P6?(8,2)，根据原最终表
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?6?3?(上式中的(13?8?1)??? 55?2?513)是原最终表检验数的相反数。 55?11????2??8??P6'?B?1?P6??33??????4?
??????12??2?????5??35?据此，在原最终表上增加一列，继续迭代：
表3-3
Cj 3 1 4 0 0 3 CB 3 4 基 bi 5 3 x1 1 0 0 x2 1? 31 -2 x3 0 1 0 0 1 0 x4 1 31? 51? 51 61? 157? 30x5 1? 32 53? 51? 64 1517? 30x6 [2] x1 x3 cj?zj 4? 51? 51 0 0 3 4 x6 x3 cj?zj 5 25 1 24 101? 101? 613 1559? 30根据上述计算结果,代入数学模型,得到以下结论:如果增加新产品D
maxZ?3x1?x2?4x3?3x6?27.5(万元)
而增加产品D获得利润为27.5万元，大于原最大生产利润0.5万元（原最大利润27万元），从经济效益考虑，是值得生产的。
3.2.4购入原材料进行扩大再生产的必要性的理论分析
由于问题提出的前提是技术力量不变，如果需要时可以增加购买原材料，单位价格0.4万元，这一问题的实质是确定是否增加投入，购买原材料，扩大生产，那么购买多少最适宜。仍利用原最终表，并将参数直接反映到最终表上，采用对偶单纯形法计算见表3-4。
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表3-4
Cj CB 3 4 基 3 1 4 0 0 bi 5 3 x1 1 0 0 x2 x3 0 1 0 x4 x5 1? 32 52? 5x1 1? 31 -2 x3 Cj?Zj 1 31? 51? 5（将参数直接反映到最终表）
3 4 x1 x3 Cj?Zj 15?? 323?? 51 0 0 1? 31 -2 1 0 1 0 0 1 0 1 31? 51? 5-1 [?1] 32? 53? 51 0 0 0 4 x5 x3 Cj?15?? 9 -3 ?Zj 6 59? 5353 57? 51 54? 5
原最终表中最后一列检验数“?”是影子价格，绝对值为0.6万元，而0.6>0.4（万元），故购入原材料是合算的。关于影子价格的含义在后面专门介绍。
经过上述计算，得到的结果是：材料市场价格低于影子价格，故可购入，用参数规划计算，确定购15个单位最佳。
3.2.5影子价格的含义及分析
关于影子价格，仍用前例来说明。在表中技术力量可用量为45（单位），材料可用量为30（单位）。从广义上理解，45和30代表的是不同资源的拥有量，它的对偶变量yi则代表对第i种资源的估价。这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中产生贡献所作出的估价，它是生产单位的产品所存在的一种特殊的估计价格，在经济学中
【3】称之为影子价格（shadowprice）。
（1）资源的市场价格是已知数，相对而言，是比较稳定的，而影子价格直接受到
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资源利用情况的影响，因此是未知数。从前面的例子可以知道，如果生产单位的生产任务、产品结构等情况发生变化时，资源的影子价格也会随之改变。
（2）影子价格是一种边际价格。由对偶问题的性质可知，在利用单纯形法每步迭代中，恒有Z?W，由于Z??cxjj?1nj，W??by，故Z??by。
iiiii?1i?1mm如果原问题中的cj，aij都不发生变化，而bi(i?1,2,?,m)中只有bk发生变化，可以预见，若限定bk在某一范围内变化时，原问题的最优基B可能保持不变，这里若把最优解对应的目标函数值Z??by，看成是b,?,biim1m的函数，则偏导数
i?1?Z?yk 3-1 ?bk即为bk增加一个单位时所引起的最优值的改变量。
（3）资源的影子价格又是一种机会成本。仍以前例来说明，如果购买原材料，其市场价格是0.4万元，而计算出的影子价格是0.6万元，当然买进时合算的。鉴此，可以得出这样的结果：在生产决策中，资源的市场价格低于影子价格，即可买进，反之又可以卖出这种资源。影子价格与市场价格保持同等水平，则处于平衡状态【3】。
（4）由于对偶问题的互补松弛性质中有“当
n?axijj?1nj?bi时，yi?0，当y1?0时有
?axj?1iji?bi”，这表明生产中若某种资源的拥有量bi未得到充分利用时，该资源的影子
价格为0时，表明该种资源在生产中以耗尽。
（5）影子价格的计算可以反映出产品的隐含成本，（生产单位产品消耗资源的影子价格的总和即产品的隐含成本）。当产品产值大于隐含成本时，表明生产该种产品有利，反之，说明利用该资源生产其他产品会更有利。此即单纯形法中各个检验数的经济意义。
（6）一般来说，对线性规划原问题求解是确定资源的最优配置，而对于对偶问题的求解则是对资源的恰当估价，这种估价对合理利用资源，控制成本，计算最低利润等都是实用有效的。
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第四章 两参数线性规划问题的解法
4.1两参数线性规划的定义
两参数线性规划定义为如下形式的线性规划（记为LP(?1,?2)）
~minZ(?1,?2)?(C??1C)X
~??LP(?1,?2)?AX?b??2b??X?0~~~
4-1
~其中C?(C1,C2,?,Cn)是给定的价值向量，C?(C1,C2,?,Cn)是给定的变化向量，
b?(b1,b2,?,bm)是给定的右端系数向量，b?(b1,b2,?,bm)T 是变化向量，?1，?2为
T~~~~未知参数。显然，当?1??2?0时，LP(?1,?2)变成LP(0,0)，这就是通常的线性规划问题。
对于LP(?1,?2)，如果改变参数?1的值，将引起全体价值系数的变化，如果改变参数?2的，将约束方程右端系数同时发生变化。我们来讨论随着?1，?2取值的变化，最优解将发生什么变化【10】。
4.2两参数线性规划问题的求解方法
首先需要用分块矩阵将LP(0,0)的单纯形法进行简化。LP(0,0)为如下的线性规划：
minZ?CX
?AX?b 4-2 LP(0,0)?X?0?B设A?(BD),X???,C?(CB?XD??X?CD)，则矩阵形式为：
?X?minZ?(CBCD)?B??XD? 4-3 ??XB??(BD)???b??XD??X,X?0D?B若B是最优基，则单纯形法的实施步骤可简化如下
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