用数形结合的方法来解决中学数学问题
【摘要】数形结合是一种重要的数学思想方法, 贯穿于数学的各个分支. 其实
质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思雄与形象思维相结合, 在解题中借数解析形，以形表达数量关系. 有些数量关系，借助几何图形的直观描述，可以使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。数形有机的结合，使问题化繁为简，化难为易，化抽象为具体,从而达到简洁、明了的解题效果。提高数形结合的灵活性,有助于思维能力的培养, 有利于解题能力的提高. 数形结合在中学数学中有广泛的应用, 本文仅例举说明数形结合思想方法在方程问题,不等式问题,最值问题,函数问题,复数问题方面的应用。
【关键词】数形结合 方程问题 不等式问题 最值问题 函数问题 复数问题
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1 引言
数形结合是一种重要的数学思想. 所谓数形结合, 就是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,一方面借助形的直观性来阐明数量之间的联系,另一方面是借助于数的精确性来阐明形的某些属性.
华罗庚先生曾指出: “数缺形时少直观, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔裂分家万事非. ”数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 能够变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质. 注意这一思想方法的渗透,有利于解题能力的培养,有利于优化思维品质,并能在认知结构中有机地沟通数学各分支的内在联系.
在处理某些数学问题时, 我们可以从问题的结构特征入手, 充分挖掘出问题的几何背景, 再利用数形结合的方法建立起几何模型, 很多问题便迎刃而解, 且解法简捷. 避免复杂的计算与推理,这不仅培养了学生的观察力,联想力,综合运用知识的能力.还培养了学生的创新意识与能力.数形结合的方法重点在以形助数,贯穿于整个中学数学,本文仅例举说明数形结合思想方法在方程问题,不等式问题,最值问题,函数问题,复数问题方面的应用。
2 方程问题
方程是中学数学常见的学习、研究对象，尤其是二次方程，是学习的重点和难点。而方程、不等式、函数又有密切联系 ，是知识的融汇点，这就使得这类问题成为应用数形结合方法的良好载体。
2.1 方程实根的正负情况
用代数方法研究方程根的情况,计算复杂.若用形结合的方法,利用方程与函数的关系,画出函数图象,将方程解的问题转化为函数图象的交点来处理,则形象直观,过程明了.
例1 a为何值时,二次方程(a2?1)x2?6(3a?1)x?72?0有一个正根，一个负根?
解：设f(x)?(a2?1)x2?6(3a?1)x?72 ?二次方程，∴ a??1.
(1)当a2?1?0时，抛物线开口向上，如图
方程有一个正根，一个负根
?a2?1?0?a??1或a?1故? ??72?0??f(0)?0此时,a不存在。
(2)当时a2?1?0，抛物线开口向下，如图 方程有一个正根，一个负根
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?a2?1?0??1?a?1故? ???72?0?f(0)?0 ??1?a?1
综上所述，当?1?a?1时，方程有一个正根，一个负根。
例2 已知二次方程x2?2x?lg(2a2?a)?0有一正根和一负根,求a的取值范围.
解:设f(x)?x2?2x?lg(2a2?a)
?二次项系数大于0,函数图象开口向上 ∴函数与x轴的交点落在y轴两侧只需
f(0)?0.
f(0)?lg(2a2?a)?0?0?2a2?a?1
11解之得:-?a?0或?a?1.
22例3 已知二次方程ax2?22x?a?1?0有两个正根,求a的取值范围.
解:设f(x)?ax2?22x?a?1(a?0).依题意二次函数f(x)的图象与x轴的交点落在x轴的正半轴.如下二图所示.
所以有
?a?0?a?0?? 22??(?22)?4a(a?1)?0??(?22)?4a(a?1)?0??? ??f(0)?a?1?0?f(0)?a?1?0或 ???2?0 ?2?0???a ?a
分别解两个不等式组,求交集得a的取值范围是1?a?2.
例4 已知方程x2?ax?2b?0有两个正根，且一根在(0,1),另一根在(1,2),求
b?2的取值范围. a?1?f(0)?0?b?0??解:由已知得:?f(1)?0??a?2b?1?0
?f(2)?0?a?b?2?0??所得不等式组表示平面上一区域,如图.
b?2看作点(a,b)与(1,2)连线的斜率.a?1 3
连接M,A得最大斜率kMA?2?1?1
1?(?3)2?01?.
1?(?1)4连接M,B得最小斜率kMB?∴
1b?2?1. ?4a?1利用函数图像来研究二次方程，要注意抛物线开口方向的讨论。分析题意，提取作图的限制条件，列出满足条件的方程，做到不重不漏。
2.2 求方程实根的个数
有些方程并不需要求出实根,只要求方程的实根个数.这就没有必要按常规 方法求解.利用数形结合,将方程实根的个数转化为曲线的交点的个数.
11例5 求方程x2?x??的实根个数。
4x解：此题若直接解方程则较为困难， 若利用数形结合，将代数问题转化为几 何问题，则较为简单。即求两曲线的交 点的个数。
11做出函数y?x2?x?和y?的图象，
4x从图中可以看出两曲线的交点M只有一个， ∴方程只有一个实数解。
例6 求方程sinx?lgx的解的个数. 解:作出函数y?sinx 和y?lgx的图象.观 察图象,两函数图象 有3个交点.
∴原方程的解有3个.
例7 试判断方程ax?1??x2?2x?2a的解的个数。
解：要解出方程是不可能的。但题目只需要知道方程解的个数。若能突破传统的解方程的思想，利用图形来处理，则轻而易举。方程ax?1??x2?2x?2a的解的个数实质是y1?ax与y2??x2?2x?2a?1图象的交点的个数。分别作出
0?a?1和a?1时的图象，由图可知两曲线有两个交点。
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例8 当a为何值时, 关于x的方程2lgx?lg(x?1)?lga无解?有一解?有两解?
解:由题意得
?x?0?x?1?0? 即 ?a?0?2??x?a(x?1)设y1?x2(x?1), y2?ax?a,则y2?ax?a 的图象为过定点(1 ,0) 的直线系, 如图所示. 直线l:y?4x?4为切线,切点为(2 ,4). 由图可知
(1) 方程(*)无解?直线系斜率满足0?a?4。
(2) 方程(*) 有一解?直线系斜率满足a?4,此时x?2符合x?1条件。 (3) 方程(*) 有两解?直线系斜率满足a?4.此时交点横坐标均满足x?1的条件。
综上所述,当0?a?4时,原方程无解;
当a?4时,原方程有一解; 当a?4时,原方程有两解。
例9 已知方程|x2?4x?3|?k?0有四个实根,求k的取值范围。
解:此方程含绝对值号,并且有四个 实根,若以代数方法求解,一时之间难以 找到入手点,分类讨论难免繁冗复杂. 而画出y1?|x2?4x?3|,y2??k的图 象后,只须两图象有四个交点即可。 即-1 例10设函数f(x)?loga(1?x),g(x)?loga(1?x),若k?R,试讨论关于x的方程 ?x?1? ?a?0?x2?ax?a(*)?ag(?x2?x?1)?af(k)?x的实根个数. 解:g(?x2?x?1)?loga(?x2?x?2) (?1?x?2) 5