f(k)?loga(1?k) (k?1) ?aloga(?x2?x?2)?aloga(1?k)?x
∴?x2?x?2?1?k?x 即x2?2x?1?k.
作出函数y?x2?2x?1(?1?x?2) 和y?k的图象,观察图象,可知 当k?2或k??2时,方程无解. 当k??2或?1?k?2时,方程有一解. 当?2?k??1时,方程有两解.
结合函数定义域正确画出函数图像。此时要注意交点，分界点。可结合函数的性质或简单的计算、估算作出判断。
2．3 含参数的方程
中学数学中常见的是二次方程.很多数学问题最后转化为二次方程问题来处理。在对二次方程问题的探讨中,对含有参数的二次方程实根问题代数解法讨论较繁,解题入手点不简明。若采用数形结合方法解决此类问题,则思路自然、结果简明直观,易操作,容易理解运用。
例11 集合A?{(x,y)|y?x2?mx?2},B?{(x,y)|x?y?1?0,0?x?2}
且A?B??,求实数m的取值范围。 解:由题意得方程
x2?mx?2?x?1(0?x?2)
等价变形为方程
x2?1?(1?m)x 在(0 ,2)中有解。 设y1?x2?1, y2?(1?m)x, 0?x?2 则y1?x2?1的图象为抛物线段，
y2?(1?m)x图象为过定点(0 ,0)的直线系. 其中L 1 :y?2x为切线,切点为(1 ,2).
由图可知,直线系斜率1?m满足1?m?2时,直线系和抛物线段都相交。 ∴m的取值范围是m??1.
例12 a?0且a?1试求使方程loga(x?ak)?loga解:由题意得: ?x?ak?0?x?ak?0?2?2即 x?a?0????2222x?ak?x?a??x?ak?x?a设y1=x2?a2,y2?x?ak
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x2?a2有解时k的取值范围
则y1=x2?a2的图象为等轴双曲线x2?y2?a2(y?0) 部分
y2?x?ak的图象是斜率为1 的平行直线系y?0的部分,如图所示. 其中: L 1:y?x?a L2 :y?x?a
由图可知 (1) 对双曲线右半支,直线系在L 1和渐近线之间时有交点,即y轴上的
截距?ak满足?a??ak?0.解之得:0?k?1.
(2) 对双曲线左半支,直线系在L2上方时有交点,即y 轴上截距?ak满足?ak?a解之得k??1.
综合(1),(2)得:k的取值范围是k??1或0?k?1.
因为方程含有参数，所以画出的函数图像就不是静态不变的，而是动态变化的，例如直线系，曲线系。注意寻找分界点，分界直线，例如相切的情况。当然还需要按参数分情况作图。
3 不等式问题
不等式是中学数学的重要内容。现实世界的不等关系远远多余相等关系。不等式是解决问题的一种有利工具，广泛应用于实际问题。
3.1 无理不等式
解无理不等式是中学数学的一个重要内容，常规解法是平方去根号转化为有理不等式(组)求解。但上述解法往往运算量大，过程冗长。解题中若能注意到某些代数式的功能作用，将原不等式作适当转化，利用数形结合的方法，常能简化解题过程，优化数学思维，提高解题效率。 例13 解不等式：2x?5?x?1
55解: 设y?2x?5，即y2?2(x?)(x??,y?0)对应的曲线是以
225A(?,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数y?x?1的图象是一直线。
2解方程求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2， 此不等式的解在图象上就是抛物线位于直 线上方的部分，故不等式的解集是
5{x|??x?2}。
2例14 已知常数a?0，解关于x的不等式a2?x2?2x?a.
分析：此不等式是一个无理不等式，若按无理不等式解法需将此不等式转化成2个不等式组来解，其过程繁琐，如果考虑不等式的几何意义，就简便多了。 解：如图,在同一直角坐标系中 作出y?a2?x2和y?2x?a图象. 由图可知曲线在直线上方部分即为
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不等式的解集｛x|-a?x?0｝。 例15 设x > 0,y > 0,z > 0 ,求证:
x2?xy?y2?y2?yz?z2?z2?zx?x2.
解:这是个代数不等式的证明问题,已知条件简单,难以下手.但由代数式的结构联想到余弦定理,有x2?xy?y2?x2?y2?2xycos60?.又 x > 0,y > 0,
x2?y2?2xycos60?可以表示以x , y 为边, 夹角为60°的三角形的第三边。
同理y2?yz?z2,z2?zx?x2也有类似的几何意义. 于是构造如图所示的四面体V?ABC, 使?AVB??BVC??CVA?60?. 且VA?x,VB?y,VC?z, 由余弦定理得:AB?x2?y2?2xycos60?
= x2?xy?y2
同理:BC=y2?yz?z2 CA?z2?zx?x2
在△ABC 中, ?AB + BC > CA , ∴原不等式成立.
无理不等式常需要平方升幂，此时要注意定义域不能改变。符合题意的图像只是全部图像中的部分。
3.2 二元二次不等式组
22??x?y?1?0(1)例16 解不等式组?2 2??x?y?4(2)22??x?y?1(3)解:先考虑相应的方程组?2 2??x?y?4(4)如图，它们分别表示双曲线和圆 由(3)知x2?y2?1代入(4)得:y??6. 2??6666??y???y???22∴原不等式的解集为?2或?2?y2?1?x?4?y2??4?y2?x???熟悉代数式结构，巧用几何意义。
y2?13.3 高次不等式
中学数学中主要学习一次不等式与二次不等式。高次不等式需转化为低次不等式来求解。最常用的是数轴标根法。 例17 解不等式(x?3)2(2?x)(x?1)?0.
解:因最高次项系数为- 1 < 0 ,所以原不等式可变形为
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(x?3)2(x?2)(x?1)?0,方程(x?3)2(x?2)(x?1)?0有实根x1??1, x2?2, x3?x4?3,说明曲线y?(x?3)2(x?2)(x?1) 与x轴有交标根,如图所示:
∴不等式的解集为{x|?1?x?2或x?3}
用数轴标根法求解高次不等式要注意将不等式正确变形为最高次项的系数为正数的形式，注意曲线在数轴上的绕法，特别是重根的情况。
3.4 绝对值不等式
若用代数求法求解,需分情况讨论,去除绝对值号来求解.但分类讨论繁琐,过程复杂.利用数形结合方法,将不等式两边视为两个函数图象,则求解简单明了.
例18 已知a?1,解关于x的不等式ax?1?|x?1|。 21解:在同一坐标系中,作出y?ax?和y?|x?1|的图象
21??y?ax?解方程组 ?2
??y?|x?1|得到交点的横坐标为
1
2(1?a)由图可知,当x?11时,y?ax?在y?|x?1| 的上方
22(1?a)∴不等式的解集为{x|x?1}.
2(1?a)例19 解不等式|loga(x?1)|?|loga(x?1)| (a?1). 解：设y1?|loga(x?1)|,y2?|loga(x?1)|. 两曲线有一个交点,且交点在第一象限. 列出方程 loga(x?1)??loga(x?1)
??x?1?0?即 ?x?1?0
?1?x?1?x?1?解之得:x?2
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∴原不等式的解集为:{x|x>2｝
例20 0?a?1,下列不等式一定成立的是（ ）。
A.|log(1?a)(1?a)|?|log(1?a)(1?a)|?2
B.|log(1?a)(1?a)|?|log(1?a)(1?a)|
C.|log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)|?|log(1?a)(1?a)|?|log(1?a)(1?a)|
D.|log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)|?|log(1?a)(1?a)|?|log(1?a)(1?a)| 解：构造两个函数y1?log(1?a)x，y2?log(1?a)x
11?a??1?a(0?a?1) 21?a1?a1?log(1?a)(1?a), ∴log(1?a)1?a(1)?即log(1?a)(1?a)??1,
∴|log(1?a)(1?a)|?1,
11?a??1?a, 同理?1?a1?a21?log(1?a)(1?a)?0, ∴log(1?a)1?a即?1?log(1?a)(1?a)?0. ∴|log(1?a)(1?a)|?1.
∴|log(1?a)(1?a)|?|log(1?a)(1?a)|,B错误.
不等式中的绝对值号体现在图像上就是曲线的翻折。
3.5 含参数的不等式
若对参数分类讨论来求解,.过程烦琐.利用数形结合可大大简化计算过程。 例21 若不等式x?1+x?1?a恒成立,求a的取值范围.
解：要使不等式恒成立，只要a?x?1+x?1的最小值.若用常规的方法来 求最小值则较为烦琐。若考虑用绝对值的几何意义，把x?1+x?1理解为到数轴上两点(-1,0),(1,0)的距离的和，则较为简单。 当x?(?1,1)时,有x?1+x?1最小值2. ∴a的取值范围是(??,2). 例22 设函数f(x)?x2?1?ax,其中a?0,解不等式f(x)?1.
解：此题是含字母的不等式，分类讨论思路不清楚，且较烦琐。若运用函数图形的特点，则较为直观清楚。
2由f(x)?1得x2?1?ax?1。记y1?x2?1,y2?ax?1.则y1?x2=1(y1?1)。
y1表示双曲线的上半支.y2表示过(0,1)的直线系.从以上两图可以清楚地看出不等式的解。
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