22??(a?1)?(b?2)?1解:由已知得? 22??(c?2)?(d?2)?4(a,b)看作是圆A(a?1)2?(b?2)2?1上的点， (c,d)看作是圆B(c?2)2?(d?2)2?4上的点,
u?(a?c)2?(b?d)2是两点(a,b),(c,d)距离的 平方.如图过两圆的圆心A,B做直线交两圆于
P,P',Q,Q'.
则umax?(|AB|?1?2)2?64,
umin?(|AB|?1?2)2?4
9例37 设lal?2,b>0，试求(a?b)2?(2?a2?)2的最小值.
b9解:(a,2?a2)是圆x2?y2?2上的点,(b,)是等轴双曲线xy?9上的点,而解析
b99式(a?b)2?(2?a2?)2表示动点(a,2?a2)和动点(b,)距离的平方.利用图
bb象的对称性可得,直线y?x 与两曲线交点A(1,1),B(3,3)间 距离最短.因此最小值为AB?8.
2 结合函数图像找出最大或最
小距离，利用几何知识加以判断。
5 函数问题
函数问题与函数图象密切相关.结合函数的性质画出函数图象，容易理解题意，求解过程简单，结果直观形象。
5.1 比较函数值的大小
函数解析式形式多样，函数值形式也多样。作出函数图像，在图像上找出与函数值对应的点；作出符合题意的图形及利用三角函数线都是简便快捷的解题方法，且结果直观。
例38 比较三个数的大小0.32,log20.3,20.3. 解:这三个数看成三个函数:
y1?x2,y2?log2x,y3?2x 在x?0.3时对应的函数值.在同一 坐标系内作出这三个函数的图像, 从图像可以直观地看出当x?0.3 时,对应的三个点P1,P2,P3的位置,
16
从而可得出结论: 20.3?0.32?log20.3
11例39 比较大小arcsin_____arccos
33解:若用代数方法则考虑利用函数单调性去解决, 这就存在函数名称同化的问题，这正是该题之 难点.若将两式理解为已知函数值对应的锐角，
11则A= arcsin和B= arccos为图形中两个角.
3311因此易得B>A。? arcsin
33?例40 若0 2解:画出单位圆借助三角函数线及弧长, ?tgx>x>sinx。sinx=MB,tgx=AN,x=弧长AB， 例41 定义在R上的函数f(x)满足f(x)?f(x?2),当x?[3,5]时， f(x)=2-|x-4|，则 （ ）。 ) B.f(sin1)?f(cos1) 662?2?C.f(cos)?f(sin) D.f(cos2)?f(sin2) 33A.f(sin?)?f(cos?解：由f(x)?f(x?2)知T?2 又?x?[3,5]时，f(x)=2-|x-4|， ?3?x?4时，f(x)??2?x 4?x?5时，f(x)?6?x 作出图象，则（-1，0）上是增函数， （0，1）是减函数。 又?|cosx|?|sinx|.?f(cos2)?f(sin2) 故选D. 例42 设a,b,c,d?R，m?a2?b2?c2?d2，n?(a?c)2?(b?d)2 则m与n的大小关系是? 解：设A(a,b)，B(c,d) 则m?a2?b2?c2?d2=|OA|?|OB| n?(a?c)2?(b?d)2=|AB| 由三角形两边之和大于第三边， 得|OA|?|OB|?|AB|。即m?n. ?a,b,c,d?R ?当a?b?c?d?0时，m?n. ?m?n. 17 例43 在y?2x,y?log2x,y?x2,y?cos2x这四个函数中，当 0?x1?x2?1时，使f(x1?x2f(x1)?f(x2))?恒成立的函数有（ ）个。 22解:(1)y?2x的函数图象如图。易得 yA= f(x1)?f(x2)x?x2)。 ，yB=f(122yA?yB即满足f(不合题意。 x1?x2f(x1)?f(x2))? 22(2)同理分析y?log2x的函数图象。 此函数满足f(符合题意。 (3)画出函数y?x2的图象。 f(x1?x2f(x1)?f(x2))? 22x1?x2f(x1)?f(x2))?， 22不合题意. (4)画出函数y?cos2x的图象 在(0, f(?)内, 函数y?cos2x满足 4x1?x2f(x1)?f(x2))? 22在( f(?2x满足，1)内, 函数y?cos4x1?x2f(x1)?f(x2))?,不合题意. 22?函数的个数只有1个. 比较不同名的函数值大小较为困难。若采用代数方法需有较强的公式变形技巧及运算技巧。将函数值在图像上表示出来，不仅能化“不同”为“统一”，而且避免大量的计算。尤其是解选择题的快捷途径。 5.2 函数的定义域 18 例44 求函数y?lg(2sinx?1)?1?2cosx的定义域. 解：要使函数有意义，必须有： ?2sinx?1?0?sinx?1???2即? ?1?1?2cosx?0?cosx???2?解法一:在同一坐标系中画出y?sinx和y?cosx的图象.找出公共区间. 解法二:利用三角函数线. 由图可知,函数的定义域为[2k??正确找出图像的公共部分。 ?3,2k??5?)(k?Z) 65.3 函数的值域 例45 求函数y=|x+3|-|x+1|的值域。 解:就x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，即可得y的范围. x??1?2?f(x)??2x?4 ?3?x??1 ??2x??3?函数的图象如图，由图象即可得y?[－2，2］. 例46 对任意两实数a,b,定义运算“*”如下： ?a,a?b.求函数f(x)?log1(3x?2)*log2x的值域。 a*b=?b,a?b?2?a,a?bb解：?a*=? b,a?b??画出函数f(x)?log1(3x?2)*log2x 2图象如图。 ?f(x)的值域为（-?，0]。 例47 求函数y?4sinx?1值域。 2cosx?419 1sinx?(?)4sinx?14可看作P(2,?1)与单位圆上的点（cosx,sinx）解：y?=2?42cosx?4cosx?2所连线段的斜率的2倍。 1设过点P的直线方程为 y??k(x?2)， 41即 kx?y?2k??0 41|4?1 由点到直线的距离公式得： 21?k|2k?35解得：k1??，k2? 4123535∴??y?即函数值域为[?,]。 26261例48 求y =x2?2x?1在[0, 5 ]上的值域. 21解: y =x2?2x?1的对称轴x= 2?[ 0,5 ]. 2观察图象,当x=2时,ymin=-3. 当x=5时,ymax=15. ∴函数的值域是[-3,15]. 例49 函数f(x)?x2?ax?3,当x?[?2,2]时,f(x)?a恒成立,求a的取值范围. 解: 此题是二次函数问题中典型的“轴变区间定”问题.画出图形,分情况讨论,思路清晰,不易出错. 函数的对称轴为x??a2. (1)当?a2??2,即a?4时, f(x)在[-2,2]上单调递增 ∴当x??2时,有 f(x)min?f(?2)??2a?7 依题意,?2a?7?a 解得, a?73 ∴此时a不存在. (2)当?2??a2?2,即?4?a?4时, f(x)在[-2,-a2]上单调递减, 在[?a2,2]上单调递增. 20