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（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， ∴M点的坐标为：（m，∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB =×4×（﹣m﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4 =﹣m﹣2m+8﹣2m﹣8 2=﹣m﹣4m， 2=﹣（m+2）+4， ∵﹣4＜m＜0， 当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4． 答：m=﹣2时S有最大值S=4． （3）设P（x，x+x﹣4）． 当OB为边时，根据平行四边形的性质知PB∥OQ， ∴Q的横坐标的绝对值等于P的横坐标的绝对值， 又∵直线的解析式为y=﹣x， 则Q（x，﹣x）． 由PQ=OB，得|﹣x﹣（x+x﹣4）|=4， 解得x=0，﹣4，﹣2±2． x=0不合题意，舍去． 如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=﹣x得出Q为（4，﹣4）． 由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）． 2222）， 点评： 本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法． 第16页（共97页）
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2．（2015?枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
2
考点： 二次函数综合题． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： （1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值． （3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解． 解答： 解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax+bx+6上， 2∴，解得2， ∴抛物线的解析式为y=2x﹣8x+6． （2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n﹣8n+6）， 2∴PC=（n+2）﹣（2n﹣8n+6）， 2=﹣2n+9n﹣4， =﹣2（n﹣）+22， 第17页（共97页）
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∵PC＞0， ∴当n=时，线段PC最大且为． （3）∵△PAC为直角三角形， i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°． 由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在； ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°． 如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=． 过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形， ∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3， ∴M（3，0）． 设直线AM的解析式为：y=kx+b， 则：，解得， ∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ① 2又抛物线的解析式为：y=2x﹣8x+6 ② 联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去） ∴C（3，0），即点C、M点重合． 当x=3时，y=x+2=5， ∴P1（3，5）； iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°． 22∵y=2x﹣8x+6=2（x﹣2）﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x=2． 如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C， 第18页（共97页）
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则点C在抛物线上，且C（，）． 当x=时，y=x+2=∴P2（，）． ）均在线段AB上， ）． ． ∵点P1（3，5）、P2（，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，点评： 此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识． 3．（2015?酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴； （2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标． （3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t﹣2t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案． 解答： 解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5）， 把点A（0，4）代入上式得：a=， 第19页（共97页）
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∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x﹣∴抛物线的对称轴是：x=3； （2）P点坐标为（3，）． 2x+4=（x﹣3）﹣2， 理由如下： ∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3， ∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4） 如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小． 设直线BA′的解析式为y=kx+b， 把A′（6，4），B（1，0）代入得， 解得， ∴y=x﹣， ∵点P的横坐标为3， ∴y=×3﹣=， ∴P（3，）． （3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点N（t，t﹣2t+4）（0＜t＜5）， 如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D， 第20页（共97页）