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由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4， 把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4）， 此时：NG=﹣t+4﹣（t﹣∵AD+CF=CO=5， ∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=AD?OC=×（﹣t+4t）×5=﹣2t+10t=﹣2（t﹣）+2222t+4）=﹣t+4t， 2， ， ∴当t=时，△CAN面积的最大值为由t=，得：y=t﹣∴N（，﹣3）． 2t+4=﹣3， 点评： 本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用． 4．（2015?通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形
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（1）求该抛物线的解析式；
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（2）求点P的坐标； （3）求证：CE=EF；
（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，
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试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）]． 考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 2分析： （1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式； （2）根据△PCQ为等边三角形，则△CGQ中，∠CQD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CQP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标； （3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解； （4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，可以证得EM=EF，即M与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾，故M不存在． 2解答： 解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）+1，将点A（0，2）代入，得a（0﹣2）2+1=2， 解这个方程，得a=， ∴抛物线的表达式为y=（x﹣2）+1=x﹣x+2； （2）将x=2代入y=x，得y=2 ∴点C的坐标为（2，2）即CG=2， ∵△PCQ为等边三角形 ∴∠CQP=60°，CQ=PQ， ∵PQ⊥x轴， ∴∠CQG=30°， ∴CQ=4，GQ=2． ∴OQ=2+2，PQ=4， 将y=4代入y=（x﹣2）+1，得4=（x﹣2）+1 解这个方程，得x1=2+2=OQ，x2=2﹣2∴点P的坐标为（2+2，4）； 222222＜0（不合题意，舍去）． （3）把y=x代入y=x﹣x+2，得x=x﹣x+2 解这个方程，得x1=4+2，x2=4﹣2∴y=4+2=EF ∴点E的坐标为（4+2，4+2） ∴OE=又∵OC==4+4=2， ， 第22页（共97页）
＜2（不合题意，舍去） [在此处键入]
∴CE=OE﹣OC=4+2， ∴CE=EF； （4）不存在． 如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CE，∠QCM=∠PCE ∵∠QCP=60°， ∴∠MCE=60° 又∵CE=EF， ∴EM=EF， 又∵点E为直线y=x上的点， ∴∠CEF=45°， ∴点M与点F不重合． ∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾， ∴原假设错误，满足条件的点M不存在． 点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键． 5．（2015?龙岩）如图，已知点D在双曲线y=
（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与
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y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q． （1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式； （2）证明∠ACO=∠OBC；
（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 第23页（共97页）
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分析： （1）根据切线的性质得到点D的纵坐标是4，所以由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点D的坐标；过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，易得出A，B的坐标，即可求出抛物线的解析式； （2）连接AC，tan∠ACO==，tan∠CBO==，即可得出∠ACO=∠CBO． 2（3）分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，设P（t，t﹣t+4），分三种情况①AQ：AP=1：4，②AQ：AP=2：4，③AQ：AP=3：4，分别求解即可． 解答： 解：（1）∵以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4）， ∴点D的纵坐标是4， 又∵点D在双曲线y=∴4=， （x＞0）的图象上， 解得x=5， 故点D的坐标是（5，4）． 如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD， 在RT△DAE中，DA=5，DE=4， ∴AE==3， ∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8， ∴A（2，0），B（8，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），由于它过点C（0，4）， ∴a（0﹣2）（0﹣8）=4，解得a=， ∴抛物线的解析式为y=x﹣x+4． （2）如图2，连接AC， 2第24页（共97页）
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在RT△AOC中，OA=2，CO=4， ∴tan∠ACO==， 在RT△BOC中，OB=8，CO=4， ∴tan∠CBO==， ∴∠ACO=∠CBO． （3）∵B（8，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为y=﹣x+4， 如图3，分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G， 设P（t，t﹣t+4）， 2①AQ：AP=1：4，则易得Q（∵点Q在直线y=﹣x+4上， ，）， ∴﹣+4=，整理得t﹣8t﹣36=0， ，t2=4﹣2， ，11﹣），P2（4﹣2，2解得t1=4+2∴P1（4+2，11+）， ）， ②AQ：AP=2：4，则易得Q（第25页（共97页）