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∵点Q在直线y=﹣x+4上， ∴﹣?2+4=， ，P4=4﹣2， ，5+）； ，）， 整理得t﹣8t﹣12=0，解得P3=4+2∴P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2③AQ：AP=3：4，则易得Q（∵点Q在直线y=﹣x+4上， ∴﹣?+4=，整理得t﹣8t﹣4=0，解得t5=4+22，t6=4﹣2， ∴P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+）， 综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的四等分点，其坐标分别为P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+）． 点评： 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及双曲线，一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解． 6．（2015?甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5． （1）求b，c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
2
考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用两根关系及|x2﹣x1|=5，对式子合理变形，求b； （2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点； 第26页（共97页）
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（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可． 解答： 2解：（1）∵抛物线y=﹣x+bx+c，经过点A（0，﹣4）， ∴c=﹣4 又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x+bx﹣4=0的两个根， ∴x1+x2=b，x1x2=6 由已知得（x2﹣x1）=25 又∵（x2﹣x1）=（x2+x1）﹣4x1x2=b﹣24 ∴b﹣24=25 解得b=±∴b=﹣，当b=． 时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去． 222222（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 又∵y=﹣x﹣2x﹣4=﹣（x+）+2， ∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D． （3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与 抛物线y=﹣x﹣2x﹣4的交点， 2∴当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）﹣×（﹣3）﹣4=4， ∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形． 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上 点评： 本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法． 7．（2015?镇江）如图，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．
（1）求a，b，c的值；
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（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．
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①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；
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②请在二次函数y=ax+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）； ③过点M的一次函数y=﹣x+t的图象与二次函数y=ax+bx+c的图象交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？
④当k取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？
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考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）利用顶点式的解析式求解即可； 22（2））①当k=1时，y=﹣x+4x﹣1，令y=0，﹣x+4x﹣1=0，解得x的值，即可得出图象与x轴的交点坐标； 222②y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）当经x=﹣1时，y=ax+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）的图象上点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，可得M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6）； ③由y=﹣+t，经过（﹣1，6），可得t的值，由MN⊥x轴，可得E点的横坐标为﹣1，可得出AE，ME，MA的值．设MD交AE于点B，作BC⊥AM于点C，设BC=x，则AB=8﹣x，显然△ABC∽△AMN，可求出x的值，即可得出MD的函数表达式为y=﹣2x+4．再把点D代入，即可求出k的值； ④观察可得出当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小． 2解答： 解：（1）设y=a（x﹣1）+2，将（0，3）代入，得a=1， 22∴y=（x﹣1）+2，即y=x﹣2x+3， ∴a=1，b=﹣2，c=3； （2）①当k=1时，y=﹣x+4x﹣1，令y=0，﹣x+4x﹣1=0，解得x=2±，即图象与x轴的交点坐标（2+，0），（2﹣，0）； 222②y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）当经x=﹣1时，y=ax+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）的图象上点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称， ∴M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6）， ③y=﹣x+t，经过（﹣1，6），得t=∴y=﹣x+，则A（7，0）， 第28页（共97页）
22， [在此处键入]
∵MN⊥x轴， ∴E点的横坐标为﹣1， ∴AE=8， ∵ME=6， ∴MA=10． 如图1，设MD交AE于点B，作BC⊥AM于点C， ∵MD平分∠NMP，MN⊥x轴， ∴BC=BE，设BC=x，则AB=8﹣x，显然△ABC∽△AME， ∴=，则x=3．得点B（2，0）， ∴MD的函数表达式为y=﹣2x+4． ∵y=ax+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）=﹣[x﹣（k+1）]+（k+1）+2k﹣3． 2把D（k+1，k+2k+1+2k﹣3），代入y=﹣2x+4．得k=﹣3±， 2由y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）有意义可得k=﹣3+， ④是． 当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大， 当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小． 点评： 本题主要考查了二次函数，涉及二次函数的解析式的求法，一次函数的知识及相似三角形，解题的关键是把二次函数图象与其它函数图象相结合解决问题． 8．（2015?绵阳）已知抛物线y=﹣x﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．
（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；
（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；
（3）在抛物线y=﹣x﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）先联立抛物线与直线的解析式得出关于x的方程，再由直线BC和抛物线有两个不同交点可知△＞0，求出a的取值范围，令x=0求出y的值即可得出A点坐标，把抛物线的解析式化为顶点式的形式即可得出M点的坐标； （2）利用待定系数法求出直线MA的解析式，联立两直线的解析式可得出N点坐标，进而可得出P点坐标，根据S△PCD=S△PAC﹣S△ADC可得出结论； （3）分点P在y轴左侧与右侧两种情况进行讨论即可． 解答： 解：（1）由题意得，，整理得2x+5x﹣4a=0． 2∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣∵a≠0， ∴a＞﹣且a≠0． ． 令x=0，得y=a， ∴A（0，a）． 由y=﹣（x+1）+1+a得，M（﹣1，1+a）． （2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（0，a），M（﹣1，1+a）， ∴，解得， 2∴直线MA的解析式为y=﹣x+a， 联立得，，解得， ∴N（，﹣）． 第30页（共97页）