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∵∠MBN+∠ABM+∠ABO=180°， ∴∠MBN+∠ABO=90°， ∴∠NMB=∠ABO， ∵∠MNO=∠BOA， ∴△MNB∽△BOA， ∴=， 即=解得：x=当x=， 或x=0（舍去）， ，即M（，）； ， 时，y=②当∠BAM′=90°时，易知△AM′N′∽△BAO，∴即即M′（﹣，﹣，解得x=﹣）， ，或4（舍去），当x=﹣时，y=﹣， 则满足条件M的坐标为（）或（﹣，﹣）； （3）如图2所示，当D点运动到x轴上时，易知△AD′E′∽△ABO， ∴，∴AE′=，∴EE′=AB﹣BE﹣AE′=5﹣2﹣=， ∴当0≤t≤时，S=2； 当≤t≤3时，S=﹣当3≤t≤5时，S=2t+t﹣2t+t+； ． 第36页（共97页）
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点评： 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定抛物线解析式，相似三角形的判定与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 11．（2015?鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2
考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值； （2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=第37页（共97页）
m2[在此处键入]
﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标； （3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系． 解答： 解：（1）①y=当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4， ∴C（0，2），A（﹣4，0）， 由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称， ∴点B的坐标为1，0）． ②∵抛物线y=ax+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0）， ∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1）， 又∵抛物线过点C（0，2）， ∴2=﹣4a ∴a=∴y= x22x+2． m2（2）设P（m，m+2）． 过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q， ∴Q（m，m+2）， ∴PQ==2m2m+2﹣（m+2） m﹣2m， ∵S△PAC=×PQ×4， =2PQ=﹣m﹣4m=﹣（m+2）+4， ∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4， 此时P（﹣2，3）． 22第38页（共97页）
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（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=， ∴∠CAO=∠BCO， ∵∠BCO+∠OBC=90°， ∴∠CAO+∠OBC=90°， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC∽△ACO∽△CBO， 如下图： ①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC； ②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ③当点M在第四象限时，设M（n，∴MN=n+n﹣2，AN=n+4 当时，MN=AN，即n+n﹣2=（n+4） 222n2n+2），则N（n，0） 整理得：n+2n﹣8=0 解得：n1=﹣4（舍），n2=2 ∴M（2，﹣3）； 当时，MN=2AN，即n+n﹣2=2（n+4）， 22整理得：n﹣n﹣20=0 解得：n1=﹣4（舍），n2=5， ∴M（5，﹣18）． 综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似． 点评： 本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质． 12．（2015?湘西州）如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=2
﹣x+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速
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度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）先由直线AB的解析式为y=﹣x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=﹣x+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA=，PA=3﹣t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可； （3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t，点Q的坐22标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）+2（3﹣t）+3），则FQ=3t﹣t，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标； （4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3﹣t），然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值． 解答： 解：（1）∵y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0）， 当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）， 2将A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x+bx+c， 得，解得22 ∴抛物线的解析式为y=﹣x+2x+3； （2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°， 第40页（共97页）