x?l:fx??12Flyh33F?4y2?,fy???1?2?
2h?h?因此，各边界上的面力分布如图所示：
③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：
x=0上 x=l上
x向主矢：FN1=?y向主矢：FS1=?主矩：M1=?h/2-h/2h/2?h/2h/2fxdy?0, FN2??fydy?F, FS2??h/2?h/2h/2fxdy?0fydy??Ffxydy??Fl
?h/2?h/2h/2fxydy?0, M2???h/2因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：
(a) (b)
因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。
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qx2y3yqy2y3y(?43?3?1)?(23?)能满足相容方程，并考察它在【3-7】试证??4hh10hh图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l，深度为h，体力不计）。
【解答】(1)将应力函数?代入式（2-25）
Oh/2h/2xl(l?h)y?4??4?24qy?0，4?3，4?x?yh图3-9?4??12qy?24qy 222?2???x?yh3h3代入（2-25），可知应力函数?满足相容方程。 （2）将?代入公式（2-24），求应力分量表达式:
?2?6qx2y4qy33qy ?x?2?fxx??3?3??yhh5h?2?q4y33y?y?2?fyy?(?3??1)
?x2hh?2?6qxh2?xy??yx????3(?y2)
?x?yh4(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力： ①在主要边界y??h（上面），应精确满足应力边界条件（2-15） 2h?h???fx?y???????yx??0,fy?y???????y??qy??h/2y??h/22?2???h在主要边界y??下面?，也应该满足?2?15?2 fx?y?h/2????yx??0,fy?y?h/2????y??0y?h/2y?h/2在次要边界x?0上，分布面力为fx?x?0?????x?x?03qy4qy3??3,fy?x?0?????xy??0x?05hh应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:
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FN??FS??M??h/2?h/2h/2?3qy4qy3?fxdy????3?dy?0?h/25hh??h/2?h/2h/2fydy?0?3qy4qy3?fxydy????3?ydy?0?h/25hh??h/2?
?h/2④在次要边界x?l上，分布面力为
fx?x?l????x?x?l6ql2y4qy33qy??3?3?
hh5hfy?x?l????xy?x?l?6ql?h2??3??y2?
h?4?应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:
?6ql2y4qy33qy?f(x?l)dy????3?3??dy?0?h/2x?h/2hh5h??2h/2h/2?6ql?h??Fs???fy(x?l)dy????3??y2??dy??ql
?h/2?h/2???h?4h/2h/2?6ql2y4qy33qy?12M'??fx(x?l)ydy????3?3?ydy??ql??h/2?h/2hh5h2??FN???h/2h/2综上，可画出主要边界上的面力分布和次要边界上面力的主矢与主矩，如图
qqqloyx12ql2
(a) (b)
因此，此应力函数能解决悬臂梁在上边界受向下均布荷载q的问题。 【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q（图3-10），试求应力分量。
【解答】采用半逆法求解。
由材料力学解答假设应力分量的函数形式。 (1)假定应力分量的函数形式。
根据材料力学，弯曲应力?y主要与截面的弯矩有关，剪应力?xy主要与
yhobxq?g(h?b)图3-10截面的剪力有关，而挤压应力?x主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则?x?0
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(2)推求应力函数的形式
将?x?0，体力fx?0,fy??g，代入公式（2-24）有
?2??x?2?fxx?0
?y对y积分，得
???f?x? （a） ?y??yf?x??f1?x? （b）
其中f?x?,f1?x?都是x的待定函数。 （3）由相容方程求解应力函数。 将（b）式代入相容方程（2-25），得
d4f?x?d4f1?x?y??0 （c） 44dxdx在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即
d4f?x?d4f1?x??0,?0 4dxdx两个方程要求
f?x??Ax3?Bx2?Cx,f1?x??Dx3?Ex2 （d）
f?x?中的常数项，f1?x?中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在?的表达式中
成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数
??y?Ax3?Bx2?Cx???Dx3?Ex2? （e）
（4）由应力函数求应力分量
?2??x?2?fxx?0 （f）
?y?2??y?2?fyy?6Axy?2By?6Dx?2E??gy (g)
?x?2??xy????3Ax2?2Bx?C (h)
?x?y 9
(5)考察边界条件
利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。 主要边界x?0上（左）：
??x?x?0?0,(?xy)x?0?0
将（f），（h）代入
??x?x?0?0，自然满足
(?xy)x?0??C?0 主要边界x?b上，
??x?x?b?0，自然满足
(?xy)x?b?q，将（h）式代入，得
(?xy)x?b??3Ab2?2Bb?C?q 在次要边界y?0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
?bb0(?y)y?0dx??0?6Dx?2E?dx?3Db2?2Eb?0 ?b0(?by)y?0xdx??0?6Dx?2E?xdx?2Db3?Eb2?0 ?b0(?byx)y?0dx??0??3Ax2?2Bx?C?dx??Ab3?Bb2?Cb?0由式（i），(j)，（k），（l），（m）联立求得
A??qqb2, B?b, C?D?E?0 代入公式（g），(h)得应力分量
?x?0, ?2qx?y?b??1?3x?b????gy, ?q?3?xy?bx??bx?2?? 10
（i）（j）k）（l）m）
（
（