将式（f）代入式（i），得
4?g3?6?g2??ly?y?6Hy?2K?ydy?0 22??h/2?h?h?h/2积分后得
l21H??g(2?) （l）
h10将（k）、（l）代入式（f），得
6?g24?g3l21?x??2xy?2y?6?g(2?)y （m）
hhh10考察右边界上切应力分量?xy的边界条件： 右边界上fy???glh，则?xy的主矢为
?h/2?h/2??xy?x?ldy???6?g23?gxy??h/2?h22?h/2?x?dy???glh?fy ?x?l可知满足应力边界条件。
将式（g），（h），（m）略加整理，得应力分量的最后解答：
?6?g24?g3l21??X??h2xy?h2y?6?g(h2?10)y?2?g3?g? (n) ???y?y?y2h2?6?g23?g???xy?x2?xyh2?（5）应力分量及应力分布图
h3h2y2梁截面的宽度取为1个单位，则惯性矩I?，静矩是S?。 ?1282根据材料力学截面法可求得截面的内力，可知梁横截面上的弯矩方程和剪力方程分别为
l2?x2M?x???gh,Fs?x????ghx
2则式（n）可写成：
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M?x??4y23y??gy(2?)??x?Ih5???gy2 y(1?42)??y?2h??Fs?x?S???xybI?【分析】比较弹性力学解答与材料力学解答，可知，只有切应力?xy完全相同，正应力
?x中的第一项与材料力学结果相同，第二项为弹性力学提出的修正项；?y表示纵向纤维间
的挤压应力，而材料力学假设为零。对于l>>h的浅梁，修正项很小，可忽略不计。
【3-13】图3-14所示的悬臂梁，长度为l，高度为h，l?h，在上边界受均布荷载q，试检验应力函数??Ay?Bxy?Cy?Dx?Exy能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。
【解答】用半逆解法求解。 （1）相容条件：
将应力函数?代入相容方程式（2-25），得
523322120Ay?24By?0
要使?满足相容方程，应使
1A??B （a）
5（2）求应力分量，代入式（2-24）
??x?20Ay3?6Bx2y?6Cy?20Ay3?30Ax2y?6Cy??33 （b） ??y?2By?2D?2Ey??10Ay?2D?2Ey?22???6Bxy?2Ex?30Axy?2Ex?xy?（3）考察边界条件
①在主要边界y??h2上，应精确到满足应力边界条件
103Ah?2D?Eh?0 （c） 810(?y)y??h2??q,即Ah3?2D?Eh??q （d）
830(?yx)y??h2?0,即Axh2?2Ex?0 （e）
4(?y)y?h2?0,即-联立式（a）、（c）、（d）、（e），可得：
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A?qq3qq,D??,E?,B?? （f） 5h344hh3 ②在次要边界x?0上，主矢和主矩都为零，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
h/2?h/2?h/2(?x)x?0dy?0 满足条件
h/23Ah53(?)ydy?(20Ay?6Cy)ydy?0??Ch?0 （g） ??h/2xx?0??h/22?h/2?h/2(?xy)x?0dy?0 满足
将A的值带入（g），得
C=?
q
10h
将各系数代入应力分量表达式（b），得
??y(4y23x2?x?q?hh2?5?6h2)??qyy3?y??(1?3?4?2hh3)
????3qxy2xy??2h(1?4h2)【3-14】矩形截面的柱体受到顶部的集中力2F和力矩M的作用（图
3-15），不计体力，试用应力函数
??Ay2?Bxy?Cxy3?Dy3求解其应力分量。
【解答】采用半逆解法求解。 (1) 相容条件：
将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满足。 (2) 求应力分量：将?代入（2-24）
????x?2A?6Cxy?6Dy????y?0??? ???xy??B?3Cy2???(3) 考察边界条件。
①在主要边界y??b/2上，应精确满足应力边界条件 ??y?y??b/2?0 满足
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（h） （a）
???xyy??b/23??q,?B?Cb2?q （b）
42b/2?b/2b/2②在次要边界x=0上，可用圣维南原理，写出三个积分应力边界条件
?b/2?b/2(?x)x?0dy??F (2Ay?3Dy)??F （c）
?123?Ay?2Dy??M （d） (?)ydy??M????b/2xx?02???b/2b/2?????b/2xyb/2x?ody??F ??By?Cy3?b/2?b/2??F （e）
联立（b）、（c）、（d）、（e）式得
A??F2M1?3F?2?F?D??，B???q?，， （f） C?q???32?2bb2?b?b?b?将各系数据（f）代入式（a），得应力分量解答
?F12?F?12M??x???2?q??xy?3ybb?b?b?? ??y?0????1?q?3F??6?q?F?y2xy?????2?b?b2?b??【分析】本题题目中原教材给出的坐标轴有误，无法计算。x，y坐标互换后可以计算，但计算结果与题目提示解答几乎完全不同，又将y轴调为水平向左为正方向，才得到提示结果。可见，在求解问题时，坐标轴的方向及原点的位置与解答关系密切，坐标轴不同可得到完全不同的结果。
【3-15】挡水墙的密度为?1，厚度为b(图3-16)，水的密度为?2，试求应力分量。
【解答】（1）假设应力分量的函数形式。因为在y??b/2边界上，
?y?0；y?b/2边界上，?y???2gx，所以可以假设在区域内?y为
?y?xf?y?
（2）推求应力函数的形式。由?y推求?的形式
?2??y?2?xf?y??x ??x2?f?y??f1?y? ?x2
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x3??f?y??xf1?y??f2?y?
6（3）由相容方程求应力函数。将?代入???0，得
4d4f1d4f2x3d4fd2f?x4?4?2x2?0
6dy4dydydy要使上式在任意的x处都成立，必须
d4f32?0?f(y)?Ay?By?Cy?D;4dyd4f1d2fA5B4?2?0?f(y)??y?y?Gy3?Hy2?Iy; 142dydy106d4f232?0?f(y)?Ey?Fy2dy4代入?即得应力函数的解答，其中已经略去了与应力无关的一次项，得应力函数为：
x3Ay5By4323232??(Ay?By?Cy?D)?x(???Gy?Hy?Iy)?(Ey?Fy)
6106（4）由应力函数求应力分量，将?代入公式（2-24），注意体力fx??1g,fy?0，求得应力分量表达式
?2?B???x?2?fxx?x3?Ay???x??2Ay3?2By2?6Cy?2H???y3?? ?6Ey?2F???1gx?2??y?2?fyy?x?Ay3?By2?Cy?D??x?2?x22B3?A??xy?????3Ay2?2By?C???y4?y?3Gy2?2Hy?I??x?y23?2?
（5）考察边界条件
在主要边界y??b/2上，应精确满足应力边界条件
???yy?b/2???yy??b/2?b3?b2b???2gx?x?A?B?C?D????2gx42?8???b3b2b?0 ?x??A?B?C?D??0842????b4x2?3b2b33b2?0 ???A?Bb?C???A?B?G2?4124??32?Hb?I??0?
??xy?y??b/2
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