【3-9】图3-11所示的墙，高度为h，宽度为b，h?b，在两侧面上受到均布剪力q的作用，试应用应力函数
oqb/2b/2xqh??Axy?Bxy求解应力分量。
【解答】按半逆解法求解。
⑴将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足。 3y(h?b)⑵由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有
图3-11?2???y0，??2??2?x?2?y?x2?6Bxy，?xy??yx???x?y??A?3Bx2?
⑶考察边界条件：
在主要边界x??b2上，精确满足公式（2-15）
??x?x??b/2?0,(?xy)x??b/2??q
第一式自然满足，第二式为
?A?34Bb2??q ②在主要边界x=b/2上，精确满足式(2-15)
??x?x?b/2?0,??xy?x?b/2??q
第一式自然满足，第二式为
?A?34Bb2??q ③在次要边界y=0上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:
?b/2?b/2??y?y?0dx?0 满足 ?b/2?b/2??y?y?0xdx?0 满足
?b/2b/23?b/2??yx?y?0dx???b/2??A?3Bx2?dx??Ab?14Bb?0 联立（a）（c）得系数
A??q2,B?2qb2
代入应力分量表达式，得
??12qq?x2?x?0,?yb2xy,?xy?2??1?12b2??
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(a)
(b)
（c）
【3-10】设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，l?h（图3-12），试用应力函数??Axy?By2?Cy3?Dxy3求解应力分量。
【解答】采用半逆解法求解
（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然满足 （2）由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)
???2B?6By?6Dxy?x??????0?y? (a) ?2??????A?3Dy????yx?xy?(3)考察边界条件
①主要边界y??h/2上，应精确满足应力边界条件
???yy??h/2?0， 满足
34??xy?y??h/2?0, 得A?Dh2?0 （b）
②在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件
FN 2hh/2h/22M?ydy??M?2B?6Cyydy??M?C?? ????3??h/2xx?0??h/2hh/2h/2123???dy??F??A?3Dydy??F?Ah?Dh?Fs （c） ????xyss??h/2x?0??h/2??4??h/2??x?x?0dy??FN???h/2?2B?6Cy?dy??FN?B??h/2h/2联立方程（b）（c）得
A?3Fs2F,D??3s 2hh最后一个次要边界?x?l?上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。
将系数A、B、C、D代入公式（a），得应力分量
???x??FN?12My?12Fsxy?hh3h3? ??y?0?2????3FS?1?4y??2??xy2hh???【3-11】设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的
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密度为?，试用纯三次式的应力函数求解。
【解答】采用半逆解法求解
(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）
设应力函数?=Ax?Bxy?Cxy?Dy，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）
(2) 由式（2-24）求应力分量
由体力分量fx?0,fy??g，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：
3223?2??x?2?fxx?2Cx?6Dy （a）
?y?2??y?2?fyy?6Ax?2By??gy （b）
?y?2??xy????2Bx?2Cy （c）
?x?y（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。 ①对于主要边界y?0，其应力边界条件为：
(?y)y?0?0将式（d）代入式（b），（c），可得
，
(?yx)y?0?0 （d）
A?0，B=0 （e）
②对于主要边界y?xtan?（斜面上），应力边界条件：
在斜面上没有面力作用，即fx?fy?0，该斜面外法线方向余弦为，l??sin?，，得应力边界条件 m?cos?.由公式（2-15）
?sin??(?x)y?xtan??cos??(?yx)y?xtan??0?? （f）
?sin??(?xy)y?xtan??cos??(?y)y?xtan??0?将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得
C??g2cot?,D???g3cot2? （g）
将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得应力分量表达式：
??x??gxcot??2?gycot2?? ??y???gy???xy???gycot?【分析】本题题目已经给定应力函数的函数形式，事实上，也可通过量纲分析法确定应
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力函数的形式。
按量纲分析法确定应力函数的形式：三角形悬臂梁内任何一点的应力与?，x，y和?g有关。由于应力分量的量纲是LMT?1?2，而x,y的量纲是L，?g的量纲是LMT?1?2，又是
量纲—的数量，因此，应力分量的表达式只可能是x和y的纯一项式，即应力分量的表达式只可能是A?gx,B?gy这两种项的结合，其中A，B是量纲一的量，只与?有关。应力函数又比应力分量的长度量纲高二次，即为x和y的纯三次式，故可假设应力函数的形式为
??Ax3?Bx2y?Cxy2?Dy3。
【3-12】设图3-5中简支梁只受重力作用，而梁的密度为?，试用§3-4中的应力函数（e）求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。
【分析】与§3-4节例题相比，本题多了体力分量
fx?0,fy??g。去除了上边界的面力。依据§3-4，应
力分量的函数形式是由材料力学解答假设的。
【解答】按半逆解法求解。
（1）由§3-4可知应力函数的函数形式为
ABx2??(Ay3?By2?Cy?D)?x(Ey3?Fy2?Gy)?y5?y4?Hy3?Ky2，由§3-4可
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知，?必然满足相容方程（2-25）。
（2）应力分量的表达式：
x2?x?(6Ay?2B)?x(6Ey?2F)?2Ay3?2By2?6Hy?2K （a）
2?y?Ay3?By2?Cy?D??gy （b）
?xy??x(3Ay2?2By?C)?(3Ey2?2Fy?G) （c）
【注】?y项多了-?gy
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。因此，如果能够适当选择常数
A、B、???、K，使所有的边界条件都被满足，则应力分量式（a）、（b）、（c）就是正确的解
答。
（3）考虑对称性
因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样?x和?y是x的
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偶函数，而?xy是x的奇函数，于是由式（a）和式（c）可见
E?F?G?0 （d）
（4）考察边界条件：
①在主要边界y??h2上，应精确满足应力边界条件（2-15），
(?y)y??h2?0,(?yx)y??h2?0
将应力分量式（b）、（c）代入，并注意到E?F?G?0，可得：
?h3h2h?gA?B?C?D?h?0?8422?3h2h?g?h?A?B?C?D?h?0??8422 ?32??x(Ah?hB?C)?0?4?3??x(Ah2?hB?C)?0??4联立此四个方程，得：
A??2?g3,B?0,C??g,D?0 （e） 2h2将式（d）、（e）代入式（a）、（b）、（c）
?x??6?g24?g3xy?y?6Hy?2K （f） 22hh2?g?g?y??2y3?y （g）
h26?g3?g?xy?2xy2?x （h）
h2②考察次要边界条件
由于问题的对称性，只需考虑其中的一边，如右边。右边界x?l上，fx?0，不论y取任何值(?h2?y?h2)，都有?x?0。由（f）式可见，这是不可能的，除非?,H,K均为零。因此，只能用应力?x的主矢、主矩为零，即
??将（f）式代入式（i）得
h/2h/2?h/2h/2(?x)x?ldy?0 （i） (?x)x?lydy?0 （j）
?h/24?g3?6?g2??xy?y?6Hy?2K?dy?0 22??h/2?h?h?积分后得 K=0 （k）
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