2.2 求M/M/m（n）中，等待时间w的概率密度函数。 解：
M/M/m（n）的概率分布为：
?m?1(m?)k(m?)m1??n?m?1?p0???p0??
k!m!1???r?0??1?(m?)k?k!p0?pk??mmk?k!?p0?0?0?k?m?1m?k?nk?n
假定n>m，n≥0，现在来计算概率P{w>x}，既等待时间大于x的概率。
P{w?x}??pj?Pj{w?x}
j?0n其中，Pj{w>x}的概率为：
Pj{w?x}?0 Pj{w?x}?0?j?m?1?m?x?ei?0j?m(m?x)i?i!m?j?n?1 m?j?nPj{w?x}?1可得：
P{w?x}??Pj??ej?mi?0n?1j?m?m?x(m?x)i??Pni!?mm?n?1jj?m?m?x(m?x)i?P0?????e???n?m!?j?mi!i?0? mmn?m?1?m?x(m?x)i?m?i??n?P0?e??Pnm!i!1??i?0若n??则P0(?m)m?(m???)xP{w?x}??e1??m!特别的，新到顾客需等待的概率为：
P0(?m)m P{W?0}??1??m!第 1 页 共 33 页
而n?m?1n?m?2mmP0(?x)i?m?xmm(?x)fw(x)?e[?(m???)??m??m!(1??)i!(n?m?1)!i?0?m??n(m??)](n?m?1)!n?m?1
在n??注：
mmP0fw(x)??m(m???)e?(m???)xm!(1??)m?1k?0
P{w?0}??PkP{w??}?Pn2.4求M/D/1排队问题中等待时间W的一、二、三阶矩m1、m2、m3，D表示服务时间为定值b，到达率为?。 解：
G(s)?s(1??)
s????B(S)其中 B(s)???0?(t?b)e?stdt?e?sb
?s(1??)i从而 G(s)? 又 G(s)?gs?i?sbs????ei?0
?(?sb)j??i?????gis???s??????j!j?0?i?0?????s(1??) ??
1????b2(1??)(1??)(2?b3??2b4)g0? g1? g2? 231??b2(1??b)12(1??b)?(1?2?b)(1??)?b4g3??424(1??b)(?b??)
?b2m1??G?(0)??g1?2(1??)m2?G??(0)?g2?2?(2??)?b6(1??)23
(1?2?)?b4m3??G???(0)?g3?6?4(1??)32.5 求M/B/1，B/M/1和B/B/1排队问题的平均等待时间W，其中B是二阶指数分布：
f(t)???1e??1t?(1??)?2e??2t?1,?2?00???1
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解：M/B/1
B(S)??f(t)e?stdt?0???1(1??)?2??1?s?2?sw2?B??(0)?2?w1??B?(0)??1????1?2?m2??1????12???22w??22(1??)?1?2????1?22?(1??)??12?2 B/M/1
???12?2(1??)?22??1??????w1?????????2??1??B(????)???1(1??)?2?????????1??????2取0???1的根令?1??1?2???2
1??1??2?1?(?1??2)2?2(1?2?)(?1??2)??2w???(1??)?1??1??2?1?(?1??2)2?2(1?2?)(?1??2)?(1??1??2?1?(?1??2)2?2(1?2?)(?1??2))
??1tB/B/1
设到达的概率密度函数为f(t)???1e?(1??)?2e??2t
设离去的概率密度函数为f(t)???3e假设?1??2????3t?(1??)?4e??4t
?1??3?2??4
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A(s)?B(s)???1(1??)?2??1?s?2?s???1(1??)?2????1(1??)?2????A(?s)B(s)?1???????s????s??1??s??s22?1??1??????21????1?(1??)?2?s2?s4t2s2?s4?(?1?s)(?2?s)(?1?s)(?2?s)(?1?s)(?2?s)(?1?s)(?2?s)222?取??(s)?s(t?s)(?1?s)(?2?s)w(s)?k??(s)??(s)?s(t?s)(?1?s)(?2?s)k?lim??(s)t?s?0s?1?2k(?1?s)(?2?s)(t?s)22Sw(s)?w???Sw(s)?s?0?'?1?2?(?1??2)t?1?2t22其中
t??1??2?(??1?(1??)?2)2?(1??2)?1?(2???2)?2?2?(1??)?1?22.6 在D/D/1排队问题中，顾客到达的时间间隔为a，服务时间为b，均为恒定值，且a>b，
求：稳定状态时系统的队列长度为k的概率pk，顾客到达时队列的长度为k的概率vk，
顾客离去时队列的长度dk，以及平均等待时间，并用G/G/1上界公式求出此时的平均等待时间，评论计算结果，并讨论a≤b的情况。 解：
由于是D/D/1问题，故子系统运行情况完全确定，第一个顾客到达后，系统无顾客，
经过b后，服务完毕，顾客离去，再经过a-b后，下一个顾客到达。
此时有：
?b?apk??(a?b)?a? ?1rk?dk???0顾客不等待时w?0 G/G/1
上
界
k?1k?0k?0k?0
公式
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?r2??t2w?2t(1??)22?p(?)??(??a)?w?0p(t)??(t?b)?????t?0
22?w?????t?02t(1??)当a ab时间后，系统队列长度增长a?b2.7求M/E2/1即时拒绝系统的呼损，其中E2是二阶爱尔兰分布，b(?)?(2?)2?e?2?? 解： 设相邻呼叫到达间隔为t，如果服务时间??t，将造成呼损，??t时无呼损。 ?pc(t)??b(?)d?t??0t?则???t0pc??a(t)??b(?)d?dt???e ??(2?)?et?2?2???2?4??d?dt?(??2?)2 2.8在优先级别队列中，A队为优先级，不拒绝，B队为非优先级，只准一人排队等待（不计在服务中的），且当A队无人时才能被服务，求各状态概率，A队的平均等待时间和B队的拒绝概率。 解： ?1??2?2 说明： 0状态代表系统中无顾客状态； i，j状态代表系统中正在服务且A 0?0 0??20 1?1??1?1 01 1队中有i个顾客，B队列中有j个顾客排队的状态。 ?1??1? 状态转移图如右，A队到达率为?1，B队到达率为?2，服务率?，系统稳定时，应有 第 5 页 共 33 页