6.1由n个元件构成的一个系统，各元件的平均寿命都是T。当一个元件失效据使得系统失效的情况下，已知系统的平均寿命将下降至T/n，如果采取容错措施，当m个以上元件失效才使系统失效，求证此系统的平均寿命为：
Tm?T
?r?0mn1?r可见比未采取措施前提高至少m倍。当m=n-1时，这一系统实际上即是n个元件的并接系统，试证上式即转化成并连系统的寿命公式。
证：以i状态代表有i个元件失效的状态，此时系统的状态转移框图如下：
0
12…mF 那么状态i的平均寿命为：Si?Tn?i0?i?m
从而系统的平均寿命为：S?S0?S1???Sm?T?n?i
i?0m1当m=n-1时S?T1 ?kk?0112131n1n ?C?C?C???(?1)Cn?nnn23nk?0knn而利用数学归纳法易知：
6.3有n个不可修复系统，它们的平均寿命都是T。先取两个作为并接，即互为热备份运行；当有一个损坏时，启用第三个作为热备份；再损坏一个是起用第四个，已知下去，直到n个系统均损坏。忽略起用冷备份期间另一系统损坏的可能性；试计算这样运行下的平均寿命；并与全冷备份和全热备份是的平均寿命相比较。
解：状态图如下：i表示有i个系统损坏，失效在图中标出。
2?012?22?…2?n-1?n 第 26 页 共 33 页
由上图有：Si?T20?i?n?2Sn?1?T
从而，平均寿命：
S?S0?S1???Sn?1?S冷?nTS热?S?S冷
Tn?1??n?1??T?T22111?? S热＝?1??????T23n??6.4上题目中n个子系统都是可修复系统，可靠度都是R。仍用上述方式运行，一损坏系统修复后作为最后一个系统排队等候再起用，求稳态可靠度。 解：
m，n-m表示n个系统中有m个失效，状态转移图及失效率与修复率如图：
2?2?2?2?2?2??0, n?1, n-12?2, n-23?m,n-mm?(m+1)?n-1, 1(n-1)?n?n, 0 用Pm表示状态m,n-m的概率（稳态），状态方程如下：
?2?p0??p1????(2??m?)pm?2?pm?1?(m?1)?pm?1?????(2??n?)pn?1?2?pn?2?n?pn??p?n?pn?nn?1??p?1i??i?0解状态方程如下：有：
0?m?n?1
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m??2??p0?pm?m?m！??n??2??p?p0nn?2n！??0?m?n
?n?11?2??m2n?1?n?由归一性：p0??????? ??nn！???????m?0m！?1?2????m！??????mm?1稳态可靠度：Rs?1?pn?1?2??2?????m！???n！?n??n?1n
其中，
?1?R? R是单一系统的可靠度。 ?R6.5一个复杂系统有n级梯形结构组成如图所示。其中有n个子系统作为桥，2(n+1)个子
系统作为梯边，它们都是可靠度为R的可以修复系统。求这个复杂系统的可靠度递推公式，假定所有子系统都互相独立。 解：
依次考虑1，2，3，… n。依照各个桥的情况可以分类，根据1，2，3，… n的好坏
情况可以得到以下结果：
情况 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 概率 R R(1-R) R(1-R)2 可靠度 [1-(1-R)2]Rn-1 [1-(1-R2)2]Rn-2 [1-(1-R3)2]Rn-3 第 28 页 共 33 页
┇ N N+1
R(1-R)n-1 (1-R)n [1-(1-Rn)2]R0 1-(1-Rn+1)2 ?Rn?R?2R?R2?Rn?1?R?1?R??2R2?R4?Rn?2???R?1?R?n?1?2Rn?R2n?R??1?R??2Rn0n?1?R2n?2?
其中：R0?2R?R2 n?0
6.6有一个故障率为?的系统，为了考虑是否使之成为可修复系统而配备维修力量，分别计算两类可靠度，试证明作为不可修复系统在时间T以内的可靠度大于作为可修复系统的稳态可靠度的条件是：?T?0.995?T?0.01
解：故障率为的不可修复系统在T（?T?0.01）内的可靠度为：
R(T)?e??T?e?0.01
?
现：
?的可修复系统的稳定可靠度为
????
R(T)>
???? 或 e?0.01>
?T?T??T??T0.01??T
??T?0.995
6.7有一故障率为?，修复率为的系统?，已知此系统的费用是C?A??r?B?s
其中A，B，r，s为已知的非负常量，求可靠度为0.99时的最小费用。
解：
??????0.99???99?C?A?r?B?99s?s?s?1
1r?s 令：
dcA?0有?r?B?99s?s?s?1?0d???rA?????s?Bs?99??
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?rA?Cmin?A?s?Bs?99???rr?s?rA??B?s?Bs?99??sr?s99s
6.8用流量法求图5－9(b)中的二分网的联接度?和结合度?，只考虑端故障，且各端的可靠度均为R，求1端和5'端间的联接概率。
解：图5－9(b)中的二分图，任意一端度数均为4，??4 容易知道：
??????4
一知考虑端故障，故中有一，二，
三失效和无失效是等价图入右：
可靠度分别为：
?1??1?R???C?R?1?R??1??1?R???C?R?1?R?314342422?C?R?1?R??C?R343444?
1和5'之间联接概率为：
33241234R1,5'?C4?R?1?R?1??1?R??C4?R2?1?R??C4?R3?1?R??C4?R4?1??1?R?
??????6.9有一网络结构如图： 1. 2. 3.
验证网络是否为保证网。 求联接度?和结合度?。
若每边的可靠度都是Re，每端的可靠度
Rn,求线路故障下网络的可靠度和局故障的网络的可靠度。
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