复变函数第五章学习指导
一. 知识结构
?????收敛圆环?一般概念??.??洛朗级数???和函数的性质?定理51??洛朗定理定理5.2???????可去奇点????孤立奇点的分类?极点???本性奇点???????????????????解析函数在有限孤立奇点????可去奇点：定理5.3去心邻域内的性质????定理5.4??性质??极点????定理5.5??????定理5.6????定理5.7?????本质奇点????定理5.8????????定理5.9??? ? ??定理5.3/??/??定理5.4?解析函数在无穷远点去心邻域内的性质?定理5.5/??/???定理5.6?
二. 学习要求
⒈了解双边幂级数的有关概念；
⒉理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；
⒊了解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；
⒋了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质.
三. 内容提要 1.双边幂级数 定义 称级数
n????cn(z?a)n????c?nc?1n????c?c(z?a)???c(z?a)?? 01nnz?a(z?a)
（5.1） 为双边幂级数，其中a与cn(n?0,?1,?2,?)为复常数，称cn(n?0,?1,?2,?)为双边幂级数（5.1）的系数．
定义 若级数（5.1）在圆环r?z?a?R(0?r?R???)内收敛，则称此圆环为级数（5．1）的收敛圆环．
类似幂级数，双边幂级数有如下定理：
定理5.1 若级数（5.1）的收敛圆环为G:r?z?a?R(0?r?R???)，则级数（5.1）在G内绝对收敛，且在G内每个较小的同心闭圆环
G?:r??z?a?R?(r?
r??R??R)上一致收敛，其和函数在G内为解析函数．
定理5.2 若函数f(z)在圆环G:r?z?a?R(0?r?R???)内解析，则
f(z)在G内可展成双边幂级数为
其中
cn?n????c?n (z?a)n1f(?)d?n?1?2πic(??a),n?0,?1,?2,?
这里的c为圆周??a??(r???R)，并且系数cn被f(z)及圆环G唯一确定．
2.孤立奇点的分类
定义5.2 设点a为函数f(z)的奇点，若f(z)在点a的某个去心邻域
0?z?a?R内解析，则称点a为函数f(z)的孤立奇点．
定义5.3 设点a为函数f(z)的孤立奇点：
⑴若f(z)在点a的罗朗级数的主要部分为零，则称点a为f(z)的可去奇点； ⑵若f(z)在点a的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为
c?(m?1)c?mc?1????,c?m?0 mm?1z?a(z?a)(z?a)则称点a为f(z)的m级（阶）极点；
⑶若f(z)在点a的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点a为f(z)的本性奇点．
sinzez依定义，点z?0为的可去奇点，点z?0为2的二级极点，点z?1为
zzz的本性奇点． 1?z 3.函数在孤立奇点的去心邻域内的性质 ⑴函数在可去奇点的去心邻域内的性质 sin定理5.3 若点a为f(z)的孤立奇点，则下列三个条件是等价的： ①点a为f(z)的可去奇点； ②limf(z)?c(??)；
z?a③函数f(z)在点a的某个去心邻域内有界． ⑵函数在极点的去心邻域内的性质
定理5.4 若点a为f(z)的孤立奇点，则下列三个条件是等价的． ①点a为f(z)的m级极点；
②f(z)在点a的某个去心邻域0?z?a?R内可表示为
f(z)?h(z) m(z?a)其中的h(z)在点a的邻域z?a?R 内解析，且h(a)?0；
③点a为
1的m级零点（可去奇点视作解析点时）． f(z)定理6.5 点a为函数f(z)的极点的充分必要条件是
limf(z)??
z?a ⑶函数在本性奇点的去心邻域内的性质
定理5.5 点a为函数f(z)的本性奇点的充分必要条件是limf(z)不存在，即
z?a当z?a时，f(z)既不趋于有限值，也不趋于?．
定理5.7 若点a为f(z)的本性奇点，且f(z)在点a的充分小的邻域内不为
零，则点a必为
1的本性奇点． f(z)
四.疑难解析
1.洛朗级数与泰勒级数有何关系？ 答：洛朗级数与泰勒级数之间的关系是一个既一般又特殊的关系，也就是说，泰勒级数是一个特殊的不含负幂项的洛朗级数，洛朗级数
n=-￥?+?cn(z-z0)在圆环域
nr?z-z0?R上收敛，当z0?0,r?0时，c?n?0，洛朗级数就退化为泰勒级数了.在一般情况下，洛朗级数的解析（正则）部分就是一个普通幂级数.而且，可以利用一些函数的泰勒展开式来求函数的饿洛朗级数.由此可知，洛朗级数与泰勒级数存在着密切的相依关系.
2.在洛朗定理中，系数cn=12?if(?)??c(??z0)n?1d?.为什么不能像泰勒定理那
f(n)(z0)样，利用高阶导数公式使得cn?呢？
n!答：在泰勒定理中，因为f(z)在z0的邻域中解析，所以可以在收敛圆域内应用高阶导数公式，求得cn=但在洛朗定理中，却会是：
（1）若z0是f(z)的奇点，则f(n)(z0)不存在.
（2）若z0不是f(z)的奇点，因而f(n)(z0)存在.但在z-z0?R内可能还有奇点，此时积分
12?i1(n)f(?)f(z0). 也不等于d???c(??z0)n?1n!n?112?if(?)12?i(n)1(n)d???f(z)?f(z0)0??c(??z0)n?12?in!n!（3）仅当f(z)在z-z0?R内处处解析，则由于?z-z0?内处处解析，由基本定理，有c-n=12?if(2)(n?1,2,...)在C
f(?)??c(??z0)n?1d??0这时，洛朗级数成为
泰勒级数.
3.试说明奇点与洛朗级数的关系.
答：奇点有两类，一类是f(z)的奇点，一类是f(z)的洛朗数的负幂项的奇点.若函数f(z)在z-z0?R内只有一个奇点z0，则f(z)可以在0?z-z0?R内
展开为洛朗级数.其主部反映在奇点z0处的特性，十分重要.z0是函数f(z)在圆环域r?z-z0?R内的洛朗级数的负幂项的奇点，但z0不一定是f(z)的奇点.如对于函数f(z)?1?z?1??z?2?,z?1,2是f(z)的奇点，但在圆环域1?z?2和
2?z???内z=0是各负幂项的奇点，而不是f(z)的奇点.对于f(z)?ze,z0?0是函数的奇点，在圆环域0?z???内的洛朗级数的负幂项的奇点也是圆环域的中心.
4.函数tan(1)能否在圆环域0?z?R内展开为洛朗级数？
z答：不能.z=0是tan(1)的奇点，但tan(1)=sin(1)cos(1)的奇点有
zzzz无穷多个.除z=0外，zk?11(k?)?2,k?0,?1,???都是tan(1)的奇点当k??z12z时，zk?0，所以不存在一个去心邻域0?z?R，使tan(1)在圆环域内解析，
z从而不可能将tan(1)在0?z?R内展开为洛朗级数.
z5．怎样理解f(z)的洛朗级数“唯一性”的说法？
答：函数f(z)的洛朗级数的唯一性是指，同一函数在同一圆环邻域内的洛朗展开式是唯一的.因为函数f(z)的奇点可能不止一个，因此使f(z)解析的圆环域也不止一个，于是函数f(z)在不同的圆环域内可以有不同的形式的洛朗级数，这与f(z)的洛朗级数“唯一性”说法是不矛盾的.例如，函数f(z)?2+1有
z2+z-2两个奇点z1?1与z2??2，有三个以z=0为中心的圆环域，其洛朗级数分别为：
(?1)n在z?1内，f(z)=?(n?1?1)zn,在1?z?2内，f(z)=2n=0???(?1)nn?nz??z,在?n?1n=02n=0??(?1)n?1?n有不同的洛朗级数；2?z???内f(z)=??1?n?1?z.可见在不同圆环域内，
2n=-1??但在一个圆环域内只有唯一的洛朗级数.
6.函数lnz在z?0上能否展开为罗伦级数，为什么？