三、1．r?|z?a|?R,r?0,R???,
|??a|?? (r???R).
1f(?)d? (n?0,?1,...),圆周n?1?Γ2?i(??a)2．（1）f(z)在点a的主要部分为零,（2）limf(z)?b (??),（3）f(z)在
z?a点a的某去心领域内有界.
3．点a的充分小去心领域内不为零，本性奇点. 4．不论A有限还是无穷，都有一个收敛于a的点列{zn}. 5．（1）f(z)在z??的主要部分为b1z?...?bmzm (bm?0). （2）f(z)在z??的某去心领域N????内能表成f(z)?zm?(z), 其中?(z)在z??的领域N内解析，且?(?)?0.
（3）limf(z)不存在，（即当z??时，f(z)没有有限或无穷的极限）.
z??6．（1）f(z)为常数,（2）f(z)是一个m次多项式,（3）展式?cnzn(0?|z|???)
n?0?中有无穷多个cn?0.
7．f(z)在扩充复平面上除极点外没有其它类型的奇点. 8．m?n级零点，n?m级极点，可去奇点. 9．22(1?i),(i?1)三级极点，?，6级极点. 2210．2k?i(k?0,?1,...) 一级极点，?，非孤立奇点.
tgzsinz2k?1?,故在z?0为可去奇点，z??(k?0,?1,..)为一级zzcosz2极点，z??为非孤立奇点.
四、1．解：
2．解：f(z)?111??,
(z?1)(z?2)z?1z?2??1?111nnnzn（1）f(z)????(?1)z??(?1)()=?(?1)n(1?n?1)zn,
2n?022z?12(1?z)n?0n?02
n??1111n1nz（2）f(z)??=?(?1)n?1??(?1)n?1, ??1zz2z1?21?n?0n?0Z2?11（3）f(z)???(?1)n(z?1)n?1,
z?11?(z?1)n?0?n?111（4）f(z)?????(z?2),
z?2(z?2)?1n?0n???1111n1n2（5）f(z)?[?]=?(?1)n?1??(?1)n?1=?(?1)n(1?2n)n?1. zzzz1?11?2n?0n?0n?0zzz2zn1?z??...??...1z52ezzn!?1??z.... 3．解：f(z)?=?3z26z(1?z2)z?z1?zn?212?11214．解：f(z)?=??()??(?1)nn?2. ?2??22n?02zz?2z?121?zz1?1n?022zz?1?ez5．解：f(z)?,奇点为z?0为一级极点，z?2k?i(k??1,?2,...)为一级zz(e?1)极点，z??为非孤立奇点.
五、1．证明：（必要性）若f(z)为单叶整函数，由于整函数分为三类 ①f为常数，与单叶性矛盾,
②f为超越整函数，f(z)??cnzn(0?|z|???),它仅有z??为本性奇点，由
n?0?picard大定理，?A?,?除一个值A?A0外，均?{zn}z,n??使得
f(zn)?A(?n 1,此亦与单叶性矛盾。2,由0)代,数基本定理，
③f为一多项式，f(z)?c0?cz?.?.c.mzmcm(??A??,f(z)?A必有且只有m个根，再由f(z)单叶知必有m?1，故f(z)?az?b(a?0)?A??,f(z)?A,有且只有一个根，为整函数且故f(z)为单叶
整函数.
2．证明：（必要性）由于f(z)在扩充z平面上只有一个一级极点，当z??为极点时，f(z)?az?b,当z0??为极点时，f(z)?Bz?(A?Bz0)A ?B(A?0)=
z?z0z?z0?Bz0?(A?Bz0)??A?0
az?b,ad?bc?0,因而a,c不同时为0，①c?0，cz?dd,②c?0，则a?0且d?0，f(z)只有一个f(z)只有一个一级极点z??c一级极点z??.
（充分性） 若f(z)?3．解：①当m?n时，a为f(z)?g(z)的max(m,n)级极点，为f,g的m?n级极点，为
f的m?n(m?n)级极点与n?m(m?n)级零点. g②当m?n时，a为f?g的至多m级极点（此时各种情况均有可能产生） 例：f?1?1fkk??z,g??z(k?N), 为的级极点，为的f,gam?nmm(z?a)(z?a)g可去奇点. 4．解：令??21，则ez3411?z?e5???1?e???(1???22?...)
?(1??????????23!44!5!...)(1???2?224...)
34(1??23...)(1??3!...)(1??54!)...=1???????11?238?4?55...
1111114=1??????...
z2z23z38z45z55．证明：?limf(z)?c0??,????0,?R?0,当|z|?R时均有|f(z)?c0|??,选
z??取充分大的r?R,使得C在|?|?r内部,由于|1f(?)d??c0|
2?i?|?|?r??z1f(?)c0d?]|?1?[?d???|?|?r??z2?i|?|?r??z2???|f(?)?c0||??z|||?r|d?|??r??,故r?|z|
1f(?)d??c0
r???2?i?|?|?r??zlim①z?D，则?1f(?)f(?)f(?)d????d??0,故d??0?c0 ?|?|?r??z2?i?c??zc??z②z?D，亦可选取充分大的r0?r,使得
1f(?)d??f(z)?c0. ?2?i?c??z1f(?)1f(?)d??d??f(z) ???|?|?2?ic??z2?ir0??z从而