1z?5sinz1解：（1）f(z)?[.]??(z) 23z(z?1)(z?1)zz 显然?(z)在z?0解析（只须令 故z?0是f(z)的一级极点. （2）0是e1zsinz|z?0?1）且?(0)??5?0 z的本轮奇点.这是因为e??1z沿正负轴(), z?0时e?01z沿负实轴1沿虚轴(z?0) , ez无极根 ().
z?0例9.函数f(z)?1在z?1处，有一个二级极点.这个函数又有下列济2z(z?1)朗展式：
1111????（1?|z?1|???）
z(z?1)2(z?1)3(z?1)4(z?1)5于是就说“z?1又是f(z)的事胜奇点”，这个说法对吗？
解：不对，因为f(z)在z=1的处的去心邻域应是0<|z-1|<1，而0<|z-1|<+?正好是以z=1为中心的无穷远点的去心邻域，所以据这个洛朗展式，只能断定
z??是f(z)的可去奇点.
例10.如果K为满足关系k2<1的实数，证明
nk?sin(n?1)??n?0??sin?1?2ksin??k2cos??k1?2kcos??k2
?kncos(n?1)??n?0提示：对z?k展开(z?k)?1成洛朗级数，并在展开式的结果中置z?ei?，再令两边的实部与实部相等，虚部与虚部相等.
??1111???k?knk????????n?1, 证：当z?k，且k?1时，有?1,
kz?kz1?zn?0?z?n?0zzz2n令z?ei?，代入上式两边得
11cos??k?isin???ei??kcos??k?isin?1?2kcos??k2???knn?(n?1)i???ke???kncos(n?1)??iknsin(n?1)???(n?1)i???n?0en?0n?0于是cos??k1?2kcos??k2n?0?sin?nksin(n?1)???1?2kcos??k2n?0?kncos(n?1)???
六．单元检测
一. 单项选择题:
sinz1. 函数在0?z???的罗朗展式的罗朗系数C?2,C2分别为 z111A)3!,B)0, C) 3!,0D) 0,?
3!3!3!2.z?0为函数f(z)?1?cosz的
z2(ez?1)A)零点B)一级极点C)二级极点D) 三级极点
13.z?? 为函数f(z)?的 1sinzA)可去奇点B)m级极点C)本性奇点D)非孤立奇点
5.f(z)在z?1内解析且f(z)?1(z?1),f(0)?0,则在z?1内恒有f(z) z,且f?(0) 1 A)?,?B)? ,?C) ?,?D) ?,?
6.解析函数f(z)的孤立奇点a的去心邻域K??a?的罗朗级数要部分为
A) ?Cn(z?a)B)?Cn(z?a)C) ?Cn(z?a)D) ?Cn(z?a)?n
nnnn?1n?0n?1n?0?????n????C(z?a)n?n的主
7.z?a分别为f(z),g(z)的m级与n级极点(m?n),则z?a是f(z)?g(z)的 级极点.
A)m?n B)m?n C)min(m,n) D)max(m,n)
8.f(z)的孤立奇点a为本性奇点的充要条件是
A)limf(z)?0B)limf(z)C)limf(z)?b(??)D)limf(z)??
z?az?az?az?a19.若z?0是f(z)的三级极点,则?是f()的
zA)三级极点B)三级零点C)可去奇点D)本性奇点
10.设z?0是不恒为另的函数f(z)的孤立奇点,且有趋于0的无穷点列使
f(zn)?0则z?0是f(z)的 A)零点B)可去奇点C)极点D)本性奇点
11.?是函数f(z)?tanz的 A)极点B) 非孤立奇点C) 本性奇点D) 可去奇点
12.函数f(z)? 在z?1的去心邻域内不能展成罗朗级数. A)sin11tan(z?1)1B) secC)D) z?1z?1(z?1)zz?113.整函数f(z)的孤立奇点个数 个 A)只有一个B)至少一个C)没有D)无法确定
14.亚纯函数的孤立奇点只能是 A) 可去奇点B)极点C) 本性奇点D) 非孤立奇点 15. f(z)在无穷远点去心邻域内的罗朗展式:f(z)???????n????bzn?n的主要部分为
A)?bnzB)?bnzC) ?bnzD) ?bnzn
nnnn??1n?0n?1n?0二、多项选择题: 1.f(z)?1可以在区域 展开罗朗级数
(z?1)(z?2)A)z?1 B)1?z?2 C)2?z??? D)0?z?1?1 E)0?z?2?1 2.z?0是函数f(z)? 的本性奇点. A) eB)
1z111?coszC) cosD) E) 1zsinzz2sinz13.z?0是函数f(z)? 的本性奇点.
111cosB)ctgzC)tanzD)E)
sinz?cosz1?ezz14.设f(z)?sin存在着收敛于0的点列?zn?,使limf(zn)? zn?0zA?)B)0C)1D)2E)3
A)B)C)D)E) A)
5.函数f(z)? 为整函数. A)常数C0B)sinzC)az?bD)三、填充题：
1．在圆环H （ ）内解析的函数f(z)可展成双边幂级数
f(z)?az?bE)tanz cz?dn????C(z?a)n?n，其中Cn? ，?为 2．如果a为f(z)的可去奇点，则有：
（1） (2) (3)
3．若z?a为f(z)之一本性奇点，且在 则z?a必为
1的 f(z)4．（Weierstrass定理）如果a为f(z)的本性奇点，则任何常数
A， ，使得limf(zn)?A
zn?a5．如果z??为f(z)的m级极点的充要条件是下列三条中任何一条成立 （1） （2） （3） 6．若f(z)为一整函数，则z??为f(z)的（1）
可去奇点（2）m级极点（3）本性奇点的充要条件分别为：（1） （2） （3） 7．函数f(z)为有理数的充要条件为 8．f(z)，g(z)分别以z?a为m级极点与n级极点，则z?a为
f(z)的 g(z) (m?n)， (m?n)， (m?n) 9．函数f(z)?1的奇点有：z? ，各
(z2?i)3
为 ，z? 为
110．函数f(z)?z的奇点有：z? ，各
e?1为 ，z? 为 四、计算题
tanz1．求函数f(z)?的奇点.
z2．求函数f(z)?1在五种不同区域（1）z?1（2）1?z?2（3）
(z?1)(z?2)0?z?1?1（4）0?z?2?1（5）2?z??的罗朗展式.
1ez3．将f(z)?在圆环内展为罗朗级数，（只要含到z2各项）. 0?z?12zz(z?1)z2?2z?54将函数f(z)?在圆环0?z?1内展为罗朗级数. 2(z?2)(z?1)11?的奇点及其类别. ez?1z五、证明题 综合题：
5求函数f(z)?1．试证：f(z)是单叶整函数的充要条件为：f(z)?az?b(a?0).
2．试证：在扩充Z平面上只有一个一级极点的解析函数f(z)必有如下形式：
f(z)?az?b，ad?bc?0. cz?d3．f(z)，g(z)分别以z?a为m级极点与n级极点，试问a为f(z)?g(z)，
f(z)?g(z)及
f(z)的什么点/讨论之. g(z)11?z4．求函数f(z)?e在?点邻域(1?z???)的罗朗展式至含z5为止.
5．设C是一条围线，区域D是C的外部（含点?），f(z)在D内解析且连续到C；又设limf(z)?C0??，则
z???f(z)?f(?),z?D1f(?). d?????C2?i??z?0?f(?),z?D
单元检测答案
一、1D 2B 3D 4D 5C 6C 7D 8B 9B 10D 11B 12 B 13A 14B 15C
二、1ABCDE 2AC 3ABCD 4ABCDE 5ABC