解：不能.因为负实轴均为lnz的不解析点. 7.证明：若f(z)在z?0解析，且f(z)?z证明：设 f(z)??32,z?0,则f(z)=0.
n????Cnzn，Cn?1Rn?32??12?iz?R?f(z)dz， n?1z1Rn?32Cn?12?z?R?dSRn?1R32?，当n??2，Cn?limR???0，若n??2
Cn?limR?01Rn?32?0，故Cn=0,n?0,?1,?2,?.即f(z)?0.
2?128设f(z)在z>0上解析,且f(z)?z?z??,证明:f(z)?C0?C1z?C2z2.
1证明：令f(z)??Cnz.则（如上题） Cn?2?n???nR2?z?R1?2RdS?RR?1 Rn?1RnR当n?2,令R??得Cn?0,当n?0,令R?0得Cn?0,故
f(z)?C0?C1z?C2z2.
9.在0?z?1的区域内，将f(z)?1函数展开为罗伦级数.
z(z?1)(z?2)解：
1?11??
z(z?1)(z?2)z(z?1)z(z?2)??111zn?1?1n?1 =????z??n?1=?(1?n?1)zn?1.
z1?z2z(1?z2)n?02n?0n?021z?1与z?2. z平面可以在平面上有两个奇点：
(z?1)(z?2)被分成如下三个互不相交的f(z)的解析区域：(1)圆z?1；(2)圆环1?z?2；
10.函数f(z)?(3)圆环2?z??，试分别在此三个区域内求f(z)的展开式.
解：首先将f(z)分解成部分分式
11?z?2z?1 z(1)在圆域z?1内，因为1?z?2，故?1，于是有
2??1111?zk1??kf(z)?????z_?k???1?k?1?zk1?z21?zk?02k?022?k?0?2
f(z)?
为f(z)在圆域z?1内的泰勒展开式.
1z?1，?1，故 z2??11111?zk1?1zk1f(z)????????k??k?1???k?1??k21?zz1?12k?02zk?1zk?02k?1z2z
12(3)在圆环域2?z??内，这时?1，?1，故
zz11111??2k1?f(z)???????k?k?21z1?z1?zk?0?zz?zz 1另外，对函数f(z)?还可以求它在奇点2的去心邻域0?z?2?1的
(z?1)(z?2)罗朗展开式
??111f(z)?????(?1)k(z?2)kz?2z?2?1z?2k?0
这是同一个函数在不同的圆环域中的罗朗展开式. 显然在不同的展开区域有不同的展开式，这与罗朗展开式的唯一性并不矛盾.
五．典型例题
(2)在圆环域1?z?2内，有
例1 试将f(z)?(z2?3z?2)?1在圆环1?z?2内展成罗朗级数． 解 首先，知道f(z)在圆环1?z?2内解析，所以，f(z)在该圆环内可展成罗朗级数，且展式是唯一的．
其次，利用展式
?1??zn1?zn?0,z?1，
将f(z)展成罗朗级数．由1?z?2得
1z?1 及 ?1， z2故
f(z)?111????(z?1)(z?2)z?2z?1?1z2(1?)2,?11z(1?)z
?zn1 ???n?1??n?1n?02n?0z1?z?2
例2 试将f(z)?sinz在点z?0的去心邻域内展成罗朗级数． z
解 首先，确定使f(z)在其中解析的点z?0的最大去心邻域为0?z???． 其次，将f(z)展成罗朗级数，有
?sinz1?z2n?1(?1)nz2nnf(z)???(?1)??,zzn?0(2n?1)!n?0(2n?1)!0?z???
例3 设f(z)?5(1?ez)?1，试求f(z)在复平面上的奇点，并判定其类别． 解 首先，求f(z)的奇点．f(z)的奇点出自方程
1?ez?0
的解．解方程得
z?Ln(?1)?(2k?1)πi,k?0,?1,?2,?
若设zk?(2k?1)πi(k?0,?1,?2,?)，则易知zk为f(z)的孤立奇点．另外，因
(1?ez)z?zk?0,(1?ez)?z?zk?0
所以，由零点的定义知zk为1?ez的一级零点．从而知zk(k?0,?1,?2,?)均为
f(z)的一级极点．
例4 把下列函数在指定的圆环域内展开为洛朗级数 1）
1z(1?z)20?z?1,0?z?1?1
2）sin1,在z?1的去心邻域内 1?z11111?1?解：1）?????， 因 22z(1?z)z(1?z)z?1?z???12n?1?z?z???z????zn1?zn?0z?1且幂级数在收敛圆内可逐项求导，所
以
???1?2n???1?2z?3z????(n?1)z,1?z?n?0 ???11??n???(n?1)z??(n?2)zn2z(1?z)zn?0n??11z?1
111111??2）0?z?1?1，???????(z?1)?
z(1?z)2(1?z)2z(1?z)21?(z?1)(1?z)2n?0n?n??2?(?1)(z?1)n??n
1的奇点，所以z?1的去心邻域为0?z?1??? 1?z2）因z?1是sin?(m?1)????1111n(z?1) sin. ??sin???(?1)???(?1)n2n?11?zz?1(m?1)!(m?1)!(z?1)n?0n?0例5.求函数f(z)?1在?的去心邻域内的洛朗展式，并指出其收级域.
z(z?1)解：因f(z)在1<|z|<+?内解析，故可在此领域内展为洛朗级数.
??1111111??11??11???.????n??n?1??n
z(z?1)1?zzz1?1zzn?0zzn?1zn?2zzez?1例6.证明z?0为的可去奇点.
zex?1证：（一）首先z?0为函数的孤立主奇点，又因为展式
zex?11z2zn?(1?z???????1)0?|z|??? zz2!n! 在z?0的主要部分为零，所以z?0为其可去奇点.
limzez?1ez?1 （二）因的可去奇点. ?e?1??， ?z?0为
zz?0z?0z例7.求出下列函数的奇点，并确定它们的类型，对无穷远点也要加以讨论：
sinz?z （1）f(z)?
z31 （2）f(z)? z1?elimz5 （3）f(z)?
(1?z)2解：（1）（法一）f(z)只有z?0和z??为奇点 先求f(z)的洛朗展式：
sinz?z1???(?1)nz2n?1?1??(?1)nz2n?1 f(z)??3???z?3?z3z?n?0(zn?1)!?zn?1(2n?1)!?(0?z???)
由此，f(z)在z?0的主部（负幂）为零；在z??的主部（正幂）有无限项，故
z?0为f(z)的可去奇点，z??为f(z)的本性奇点.
（法二）计算极限
sinz?zcosz?1?sinz1?lim?lim???? 1）lim32z?0z?0z?0z3z6z6 故z?0为f(z)所去的奇点. 2）limsinz?zsinzlim不存在，因为不存在，故z??为f(z)的本性奇点
z??z??z3z3?zn??2n??? ??z?2n?i?? ?n?（2）f(z)?1 1?ez 解：1?ez?0得
1的零点, zk?(2k?1)?i (k?0,?1,?)又因为f(z)所以zk都是f(z)的一阶零点，由定理zk是f(z)的(1?ez)1/z?zk?ez/z?zk?0，
lim[z?(2k?1)?i]111一级极点?lim??f?0.当定理k??时，
z?(k?1)?i1?ezeze(2k?1)?izk??，故点?是f(z)的非孤立奇点，即点列{zk}的聚点. （3）显然z?1是f(z)的二级极点，下面考查?，由于
z2z21233 f(z)?z, ?z()?zu(z)u(z)?[]在z??解析，且21(1?z)z?11?z3u(?)?1?0，可见z??是f(z)的三级极点.
例8.讨论f(z)在奇点z=0的类型 （1）f(z)?(z?5)sinz, 223(z?1)z(z?1)1, ze （2）f(z)?