第一讲 函数及其表示方法
考点一 函数的概念 1、映射：设A和B是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射。记作f:y?x,x?A,y ?B.其中x叫原像，与x的值相对应的y的值叫像。 2. 函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。记作y=f(x),x?A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合?f?x?x?A叫做函数的值域（定义二：像的集合）。 2. 函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。 3. 分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。 注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。 ②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 一、填空题（共12题，每题5分） 1． 下列各组中的两个函数是同一函数的为 ．
(x?3)(x?5)⑴y1?，y2?x?5； ⑵y1?x?1x?1，y2?(x?1)(x?1)；
x?3⑶f(x)?x，g(x)?x2； ⑷f(x)?3x4?x3，F(x)?x3x?1； ⑸f1(x)?(2x?5)2，f2(x)?2x?5．
?x2?1(x≤0)2． 已知函数f(x)??，若f(x)?10，则x? ．
?2x(x?0)??x?1,x?0?x?0，则f{f[f(－1)]}＝ ． 3． 已知f(x)??π,?0,x?0??x2?1x≤1?4． 设函数f(x)??2，则f(f(3))? ．
x?1??x?1,x?0?1，x为有理数则f(g(π))的值为 ． 5．设f(x)??0,x?0,g(x)?,??0，x为无理数???1x?m??6． 设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，下面的四个图形中，能表示集合M到集
合N的函数关系的有 ．
7． 设f，g都是由集合A到A的映射(其中A＝{1,2,3}),其对应法则(从上到下)如下表:
映射f的对应法则 映射g的对应法则 输入值 1 2 3 输入值 1 2 3 输出值 2 3 1 输出值 2 1 3 令a＝g[f(3)]，b＝f{g[f(1)]}，则a＝ ，b＝ ． 8． 已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)＝ ．（用p,q表示） 9． 集合A中含有2个元素，集合A到集合A可构成 个不同的映射．
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a?b，则用两边含有“*”和 “＋”的运算对于任意三个实数“a，b，c”成立一2个恒等式： ．
11．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满，??，这样继续下去，建立所倒次数x和酒精残留量y之间的函数关系式 ．
12．设?,?是方程4x2?4mx?m?2?0,(x?R)的两实根，当实数m为 时，?2??2有最小值为 ．
10．若记号“*”表示的是a*b?二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)
13．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B、C、D再回到A；设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数解析式．
第二讲 函数的解析式和定义域
1.函数的表示法：解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的关系 图象法：就是用图像表示两个变量之间的对应关系 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系 2.分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。
注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。
②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 求定义域的几种情况
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是对数函数，真数应大于零。
⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 一、填空题（共12题，每题5分）
1． 函数y?x(x?1)?x的定义域为 ． 2． 函数y?x?1的定义域为 ． x3． 函数f(x)?1?2log6x的定义域为 ．
4． 已知f(x)的定义域为[?1,2)，则f(|x|)的定义域为 ． 5． 下列函数：①y＝2x＋5；②y＝
?2x ， x＜0，? ；③y＝|x|－x；④y＝其中定义域为R的函数共有m个，
x2+1?x+4，x≥0．
x则m的值为 ．
6． 若f(2x＋3)的定义域是[－4,5)，则函数f(2x－3)的定义域是 ． 7． 函数f(x)?x?5x?6?2(x?1)0x?x的定义域为
8． 已知f(2x?1)?x2?2x，则f(3)＝ . 9． 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)＝ ．
110．若f(x)满足f(x)＋2f()＝x，则f(x)＝ ．
x 2 / 26
11．若f[g(x)]＝9x＋3，且g(x)＝3x＋1，则f(x)的解析式为 ． 12．若函数y＝lg(x＋ax＋1)的定义域为R，实数a的取值范围为 ．
二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)
13．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且方程f(x)?2x的解分别是－1，3，若方程f(x)??7a有两个相等的实数根，求f(x)的解析式．
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第三讲 函数的单调性与奇偶性
(1) 观察函数的图像：（当x增加的时候，y的变化怎样？）
函数y?x的图像在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？（随着x的增加，y值在增加），y?x又怎样？ 知识要点：
231、 设函数y=f(x)的定义域为A，区间I?A,如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当
时，都有 则称y=f(x)在 上是单调增函数，I称为函数y=f(x)的 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当 时，都有 则称y=f(x)在 上是单调减函数，I称为函数y=f(x)的 单调增区间和单调减区间统称为 在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。 说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；
（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性； （3）函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：
①对于任意的x1，x2?M，若x1?x2，有f(x1)?f(x2)，则称f(x)在M上是增函数； ②若f(x)在M上是增函数，则当x1?x2时，就有f(x1)?f(x2)．
（2）函数奇偶性概念：
如果对于函数f(x)的 内的 一个x，都有 ，那么称函数y?f(x)是偶函数。如果对于函数f(x)的 内的 一个x，都有 ，那么称函数y?f(x)是奇函数。 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有 偶函数的图象 ，奇函数的图象 2、函数奇偶性的判定： 说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；
（2） f(?x)?f(x)或f(?x)??f(x)必有一成立。
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(?x)，看是等于f(x)还是等于?f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。 （3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
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（4）函数f(x)?0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f(x)?f(?x)也满足
f(x)??f(?x)。
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。 （6）奇函数若在x?0时有定义，则f(0)?0． 一、填空题：（共12题，每题5分）
1． 函数y?x2?bx?c(x?(??,1))是单调函数时，b的取值范围 ． 2． 函数f(x)在R上为奇函数，且f(x)?x?1,x?0，则当x?0，f(x)? ． 3． 函数y??x2?|x|，单调递减区间为 ．
4． 已知f(x)?(x?2)2,x?[?1,3]，则函数f(x?1)的单调递减区间为 ． 5． 若函数f(x)?|2x?a|的单调递增区间是[3,??)，则a＝ ．
1?a是奇函数，则a＝ ． 2x?17． 函数f(x)在R上增函数，图象过A(?2,?2),B(1,2)，则不等式|f(x?2)|?2的解集 ．
6． 若f(x)?8． 已知函数f(x)?ax?1在区间??2,???上为增函数，则实数a的取值范围 ． x?219． 已知偶函数f(x)在区间?0,???单调递增，则满足f(2x?1)?f()的x取值范围是 ．
310．下列函数具有奇偶性的是 ．
?x2?2(x?0)1?①y?x3?； ②y?2x?1?1?2x；③y?x4?x； ④y??0(x?0).
x?2??x?2(x?0)(x+1)+sinx11．设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．
x2+1
12．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区
间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1?x2?x3?x4? ． 二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程) 13．已知函数f(x)?x2?1，且g(x)?f[f(x)]，
G(x)?g(x)??f(x)，试问，是否存在实数?，
使得G(x)在(??,?1]上为减函数，并且在(?1,0)上为增函数？
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第四讲 函数的值域与最值
一、 基本知识
1． 定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
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2． 函数值域常见的求解思路：
⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵．反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。
⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数y?f(x)看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值y0，y0对应的自变量x0一定为方程y?f(x)在定义域中的一个解，即方程y?f(x)在定义域内有解；另一方面，若y取某值y0，方程y?f(x)在定义域内有解x0，则y0一定为x0对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y?f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷．可以用函数的单调性求值域。 3． 函数值域的求法：
在以上求解思路的引导下，又要注意以下的常见求法和技巧： ⑴．观察法； ⑵．最值法； ⑶．判别式法； ⑷．反函数法； ⑸．换元法； ⑹．复合函数法；
⑺．利用基本不等式法； ⑻．利用函数的单调性； ⑼．利用三角函数的有界性； ⑽．图象法； ⑾．配方法； ⑿．构造法。
一、填空题：（共12题，每题5分） 1． 函数y＝
2x?1的值域是 ． 3x?22． 函数y＝2－?x2?4x的最大值是 ． 3． 函数y?x?1?2x的值域是 ．
34． 已知函数y?x2?2x?3(0≤x≤),则函数的最大值与最小值的积是 ．
25． 若函数y＝x?3x?4的定义域为[0,m]，值域为[?2
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25,?4]，则m的取值范围是 ． 46． 已知函数y＝lg(x＋ax＋1)的值域为R，则a的取值范围是 ． 7． 若指数函数y?ax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a是 ． 8． 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设f(x)＝min{为 ．
9． 已知函数y?1?x?x?3的最大值为M，最小值为m，则
2??2x?x(0≤x≤3)10．函数f(x)??2的值域是 ．
??x?6x(?2≤x≤0)x,x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值2m的值为 ． M11．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么解析式为y?x2，值域为{4，1}的“同族函数”共有 个．
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