问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。 二、中学阶段常用抽象函数f(x)的“原型”（函数）： 1．f(x?y)?f(x)?f(y)——y?kx(k为常数） 2．f(x?y)?f(x)f(y)——y=a（a?0且a?1） 3．f(xy)?f(x)?f(y)——y?logax（a?0且a?1） 4．f(xy)?f(x)f(y)——y?x(n为常数）
nxx?yx?y)f()或f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)，y=cos?x(?常数） 22f(x)?f(y)6．f(x?y)?——y=tanx
1?f(x)f(y)5．f(x)?f(y)?2f(三、涉及的内容及相应的常用方法：
借助具体函数的运算法则，过渡一般抽象函数的求解证明。赋值法。 一、 抽象函数的对称性
定理1. 若函数y?f(x)定义域为R，且满足条件：f(a?x)?f(b?x)，则函数y?f(x)的图象关于直线
x?a?b对称。 2推论1. 若函数y?f(x)定义域为R，且满足条件：f(a?x)?f(a?x)，则函数y?f(x)的图像关于直线x?a对称。
推论2. 若函数y?f(x)定义域为R，且满足条件：f(x)?f(2a?x)),则函数y?f(x)的图像关于直线x?a对
称。
总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程
推论3. 若函数y?f(x)定义域为R，且满足条件：f(a?x)?f(a?x)， 又若方程f(x)?0有n个根，则此n个根的和为na。
定理2. 若函数y?f(x)定义域为R，且满足条件：f(a?x)?f(b?x)?c（a,b,c为常数），则函数y?f(x)的图象关于点(a?bc,)对称。 22推论1. 若函数y?f(x)定义域为R,且满足条件：f(a?x)?f(b?x)?0成立，则y?f(x) 的图象关于点
(a?b,0)对称。 2推论2.若函数y?f(x)定义域为R，且满足条件：f(a?x)?f(a?x)?0（a为常数），则函数y?f(x)的图
象关于点(a,0)对称。
总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。 定理3.若函数y?f(x) 定义域为R，则函数y?f(a?x)与y?f(b?x)两函数的图象关于直线x?（由a?x?b?x可得）。
推论1. 函数y?f(x?a)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?a对称。 推论2. 函数y?f(a?x)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?0对称。
b?a对称2 11 / 26
定理4.若函数y?f(x) 定义域为R，则函数y?f(a?x)与y?c?f(b?x) 的图象关于点(推论. 函数y?f(a?x)与函数y??f(b?x)图象关于点(二、抽象函数的周期性
b?ac,)对称。 22b?a,0)对称。 2定理5.若函数y?f(x) 定义域为R，且满足条件f(a?x)?f(x?b)，则y?f(x)是以T?a?b为周期的周
期函数。
推论1.若函数y?f(x) 定义域为R，且满足条件f(a?x)??f(x?b)，则y?f(x)是以T?2(a?b)为周期
的周期函数。
推论2.若函数满足条件f?x?a???1, 则?x)是以T?2a为周期的周期函数。 则T=2y??af(f?x?,则T=4?a 则y?f?(x)是以T?4a为周期的周期函数。
推论3. 若函数满足条件f?x?a??1?f?x?1?f?x?定理7.若函数y?f(x)的图象关于直线 x?a与 x?b(a?b)对称，则y?f(x)是以T?2(b?a)为周期的周
期函数。
定理8.若函数y?f(x)的图象关于点(a,0)与点(b,0)(a?b) 对称，则y?f(x)是以T?2(b?a)为周期的周期
函数。
定理9.若函数y?f(x)的图象关于直线x?a与 点(b,0)(a?b)，则y?f(x)是以T?4(b?a)为周期的周期函
数。
总结：x的系数同为为1，具有周期性。
例题讲解：
（一）抽象函数的基本性质
题型一、抽象函数的对称轴
1、若函数f?x??x?bx?c对一切实数都有f (2＋x) = f (2－x)则（ ）
2A.f (2) 1、已知定义为R的函数f?x?满足f??x???f?x?4?，且函数f?x?在区间?2,???上单调递增.如果x1?2?x2，且x1?x2?4，则f?x1??f?x2?的值（ ） A. 恒小于0 B.恒大于0 C．可能为0 D．可正可负 2、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ） A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称 题型三、抽象函数的周期性 1、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。 2、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ） A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数 12 / 26 课后作业 2、定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数 C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数 3、已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x?1)?(1?x)f(x)，则 155f(f())的值是（ ）A.0 B. C.1 D. 2221?x4、已知f?x??，f1?x??f??，fn?1?x??f?则f2004??2??（ ）. ?f?x???，f2?x??f??f1?x???，?fn?x???， 1?3x113A.? B. C. ? D.3 7755、ABCD—A1B1C1D1是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是AA1?A1D1??,黑蚁爬行的路线是AB?BB1??.它们都遵循如下规则：所爬行的第i?2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线（其中i?N).设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶 点处，这时黑白蚁的距离是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 ，xn?2?xn?1?xn(n?N*)，6、在数列｛xn｝中，已知x1?x2?1则x100= f?x??1fx?1?y?fx????定义域为R，且对任意x?R都有7、，若f?2??1?2则f(2009)= 1?f?x?8、已知f(x)是R上的偶函数，对x?R都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)= 9、函数f(x)在R上有定义，且满足f(x)是偶函数，且f?0??2005，g?x??f?x?1?是奇函数，则f?2005?的值为 1x，则f (8.6 ) = _______ 211、设f(x)是定义在区间(??,??)上且以2为周期的函数，对k?Z，用Ik表示区间(2k?1,2k?1),已知当x?I0时，f(x)?x2.求f(x)在Ik上的解析式. 10、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f (x) = －二、抽象函数相关例题 题型一、定义域问题 1、已知函数2、 已知函数 的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。 的定义域是 ，求函数 的定义域。 题型二、抽象函数的单调性问题 1、设f（x）定义于实数集上，当x?0时，f(x)?1，且对于任意实数x、y，有f(x?y)?f(x)?f(y)，求证： f(x)在R上为增函数。 题型三、抽象函数奇偶性、对称性问题、零点问题 判断抽象函数的奇偶性及对称性，就是根据已知条件，通过恰当的赋值代换,寻求 f ( x) 与 f ( - x) 的关系。或者利 13 / 26 用对称性的充要条件f?x??f?2a?x??2b,f?x??f?2a?x?进行分析。利用题目提供的信息，挖掘函数的性质（周期、对称、单调、特殊位置等），作出简图，数形结合求解。 1、设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上，只有 f(1)?f(3)?0． （1）试判断函数y?f(x)的奇偶性； （2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的 根的个数，并证明你的结论 题型四、抽象函数创新题 1、（2009年四川理16）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a,b?V及任意实数?,?都有f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题： ①设f是平面M上的线性变换，则f(0)?0 ②对a?V设f(a)?2a，则f是平面M上的线性变换； ③若e是平面M上的单位向量，对a?V设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换； ④设f是平面M上的线性变换，a,b?V，若a,b共线，则f(a),f(b)也共线。其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 2、（2010年福建理15）已知定义域为的函数f(x)满足：①对任意x?，恒有f(2x)=2f(x) （0，??）（0，??）成立；当x?（1，2]时，f(x)=2-x。给出如下结论：①对任意m?Z，有f(2)=0nm；②函数f(x)的值域为[0，；??）③存在n?Z，使得f(2+1)=9；④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是 “存在k?Z，使得 (a,b)?(2k,2k?1)”其中所有正确结论的序号是 。 课后作业： 1、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x??2给出下列四个结论：① f(x)是周期函数；② x??)是偶函数， 是f(x)图象的一条对称轴；③ (??,0)是f(x)图象的一个对称中心；④ 当x?其中正确的结论的代号是（ ） A．①③ B．①④ 2?2时，f(x)一定取最大值. C．②③ D．②④ 2（2009安徽卷理）已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x?8x?8，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是（ ）（A）y?2x?1 （B）y?x （C）y?3x?2 （D）y??2x?3 3、知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(2)=0,当x>0时有 x?f'(x)?f(x)2?0，则不等式x?f(x)?0的解集2xD. （-2，2）∪（2，+∞） 是（ ）A．（-2，0）∪（2，+∞） B. (-∞,-2∪(0,2) C． (-2,0) ∪(0,2) 4（2009年天津文）设函数f(x)在R上的导函数为f'?x?，且2f?x??xf'?x??x2，下面的不等式在R上恒成立的是（ ）A、f(x)?0 B、f(x)?0 C、f(x)?x D、f(x)?x 14 / 26 5（2010重庆理15）已知函数f?x?满足：f?1??1，4f?x?f?y??f?x?y??f?x?y??x,y?R?，则4f?2010?=_____________. 6、于定义在R上的函数f?x?，有下述命题：①若f(x)是奇函数，则f?x?1?的图象关于点A(1,0)对称.②若函数 f?x?1?的图象关于直线x?1对称，则f(x)为偶函数.③若对任意x?R，有f?x?1???f?x?，则f?x?的周期为2.④函数y?f?x?1?与y?f?1?x?的图象关于直线x?0对称.其中正确命题的序号是 ． 7、定义在R上的函数f?x?对任意的x1,x2?R，都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?1成立，且当x?0时，f(x)?1。 （1）求证：f(x)?1为奇函数； （2）求证：f(x)是R上的增函数； （3）若f(4)?5，解不等式f(3m2?m?2)?3． 8、知函数f?x?的定义域为I，导数f'?x?满足0?f'?x??2且f'?x??1，常数c1为方程 f?x??x?0的实数 根，常数c2为方程f?x??2x?0的实数根． （Ⅰ）若对任意 几个实数根； （Ⅱ）求证：当 （Ⅲ）对任意 ，存在 ，使等式 成立．试问：方程 有 时，总有 f?x??2x成立； ，若满足 ，求证：f?x1??f?x2??4。 第十讲 函数的图象 一、填空题：（共12题，每题5分） 23y y y x y O ④ x 1． 函数y?x的图象是 ． O x O x O ① ② ③ 2． 若y?f(x)为偶函数，则下列点的坐标在函数图象上的是 ． ①(a,f(?a)) ②(a,?f(a)) ③(?a,f(a)) ④(?a,?f(?a)) 3． 将函数y?2x的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，则C2的解析式 为 ． 4． 当a≠0时，函数y＝ax＋b和y＝bax的图象只可能是 ． y y y y 1 1 1 1 x x x x O O O O 5． 已知f(x)是偶函数,且图象与x轴有4个交点，则方程f(x)?0的所有实根的和是 ． 6． 当a＞0且a≠1时，函数f(x)?ax?2?3必过定点 ． 15 / 26 ① ② ③ ④