第三章 应变SiGe模型的仿真验证及Ge组分对应力的影响 27
图3.3.3 Cutline中y=0.015处的XX方向的应力曲线
由上面仿真结果及分析，可以得出此双轴应变SiGe模型的仿真结果与实际应
变SiGe情况相吻合，因此我们可以以此SiGe模型为基础展开后续工作。
3.4 Ge组份与应力转化模型
引入合适的应力能得到较高的载流子迁移率的应变材料，能大幅度提高MOS器件的性能。弛豫硅上外延生长应变Si1-xGex以及弛豫Si1-xGex上外延生长应变硅是实现硅基双轴应变的两种常见方法。本节主要探究建立Ge组份与应力强度的转化模型，可将第二章建立的硅基应变材料和Ge组份相关的能带结构等模型进行转化，以(101) 硅基双轴应变材料为例子进行转化分析。
外力作用下，固体所受的应变和应力应满足胡克定律，本节研究应用广义胡克定律将与Ge 组份相关应变张量通过弹性劲度系数来获得相应应力张量，从而实现Ge组份同应力的转化。但弹性劲度系数是个4阶张量，含有81个分量，模
28 双轴应变材料温度特性研究
型十分复杂，并且应用起来困难。因此，基于硅晶体结构的对称性，本节将其简化为3个独立分量，建立Ge组份同应力强度的模型。
当晶体受到的力低于某个极值时，晶体会发生典型的弹性形变，也就是外力若撤出后，晶体会回复到初始状态，此极值也叫弹性极限。在弹性极限范围内，依据胡克定律，外力作用下，固体的应变与应力会呈现线性关系。
胡克定律是
S?s?T (3-9) （3-9）式中，S表示的是应变，T表示的是应力。S是比例系数，它表示在应力T的作用下，材料在单位大小的应力下产生的应变值，值越大，材料被拉伸越容易，s的单位为N?1m2。
胡克定律的第二种表达式
T?c?S (3-10) 其中，c为比例系数，称作劲度系数。可以看到，c 与(3.9)中的s是互为倒数的。
晶体的物理特性是各向异性的，应变和应力都是二阶的对称的张量[32~33]。在弹性的极限范围内的小应变条件下，应力和应变的线性关系为
Sij?sijTkl (3-11)
上式可转化为
Tij?cijklSkl (3-12) （3-12）中，cijkl为劲度系数，含81个分量。为统一符号，以下分析均用?kl替代Skl，上式改写为
Tij?ci?jkl (3-13) （3-13）中，?kl为形变大小，x、y和z的长度变化分别为?xx、?yy、?zz，另外6个系数分别为?yx、?yz、?xy、?xz、?zy、?zx。为了更方便的运用线性表示，将下标做了如下变换
xx?11；xy?12；xz?13
yx?21；yy?22；yz?32
第三章 应变SiGe模型的仿真验证及Ge组分对应力的影响 29
zx?31；zy?32；zx?33 (3-14)
因此劲度系数c、应变ε和应力T分别为
?T11?Tij=?T21?T?31T12T22T32T13???1??T23， ?ij??2?????T33??3111???122232????13? ?23??33 cijkl?c1111?c?1211?c1311??c2111??c2211??c2311?c?3111?c3211??c3311c1112c1212c1312c2112c2212c2312c3112c3212c3312c1113c1213c1313c2112c2213c2313c3113c3213c3313c1121c1221c1321c2121c2221c2321c3121c3221c3321c1122c1222c1322c2122c2222c2322c3122c3222c3322c1123c1223c1323c2123c2223c2323c3123c3223c3323c1131c1231c1331c2131c2231c2331c3131c3231c3331c1132c1232c1332c2132c2232c2332c3132c3232c3332c1133??c1233?c1333??c2133?c2233? (3-15)
?c2333?c3133??c3233??c3333?应变ε和应力T的关系如下所示
T11?Xx?c1111?11?c1112?12?c1113?13?c1121?21?c1122?22?c1123?23?c1131?31?c1132?32?c1133?33T12?Xy?c1211?11?c1212?12?c1213?13?c1221?21?c1222?22?c1223?23?c1231?31?c1232?32?c1233?33T13?Xz?c1311?11?c1312?12?c1313?13?c1321?21?c1322?22?c1323?23?c1331?31?c1332?32?c1133?33T21?Yx?c2111?11?c2112?12?c2113?13?c2121?21?c2122?22?c2123?23?c2131?31?c2132?32?c2133?33T22?Yy?c2211?11?c2212?12?c2213?13?c2221?21?c2222?22?c2223?23?c2231?31?c2232?32?c2233?33T23?Yz?c2311?11?c2312?12?c2313?13?c2321?21?c2322?22?c2323?23?c2331?31?c2332?32?c2333?33T31?Zx?c3111?11?c3112?12?c3113?13?c3121?21?c3122?22?c3123?23?c3131?31?c3132?32?c3133?33T32?Zy?c3211?11?c3212?12?c3213?13?c3221?21?c3222?22?c3223?23?c3231?31?c3232?32?c3233?33T33?Zz?c3311?11?c3312?12?c3313?13?c3321?21?c3322?22?c3123?23?c3331?31?c3332?32?c3333?33 (3-16) 以上表达式过于复杂，应用起来十分麻烦,因此对其进行化简。
为了讨论更加方便，把应力的二阶张量Tij中的9个分量分别表示为Xx、Xy、
Xz、Yx、Yy、Yz、Zx、Zy、Zz。其中，大写字母代表力的方向，下标代表力所
作用的平面的法向方向。例如，Xx表示沿x方向作用于一个平面法向的单位面积上的力，而Xy表示沿x方向作用于一个平面法向为y方向的单位面积上的力，如图3.4.1所示。
30 双轴应变材料温度特性研究
zyXyYxxXxxXyyYxXy
图3.4.1 应力分量Xx与Xy 图3.4.2 平衡态时合力为零
当晶体在平衡态时（见图3.4.2），也就是没有净的体积转矩的条件下，有
Tij?Tji[34] [35]
，其表达为
Zx?Xz； Xy?Yx；Yz?Zy. (3-17)
相应的，其劲度系数cijkl的两个下标同样可以对称置换，即
cijkl?cijlk (3-18) 此外，由于Skl?Slk，式(3-18)的右边也有对称性，即
sijkl?sjikl (3-19)
同样，对于cijkl也有
cijkl?cjikl (3-20)
从上可知，应变和应力的分量从9个减到6个，劲度系数sijkl、cijkl的分量由92=81减到62=36。如此一来，劲度系数就可用简化的下标来表示。双下标ij和
kl可以用下标α和β表示，其对应的方式如下
11=1；22=2；33=3；
23=32=4；31=13=5；12=21=6； (3-20)
具体是
?sijkl?当?和?都等于1，，23时????2sijkl?当?或?等于4，，时56?5，时6??4sijkl?当?和?都等于4，s?? (3-21)
第三章 应变SiGe模型的仿真验证及Ge组分对应力的影响 31
和
C???cijkl （α，β=1，2，3，4，5，6） (3-22)
例如：对于T11，有
T11?Xx?c1111e11?c1122e22?c1133e33?2c1123e23?2c1131e31?2c1112e12
(3-23a)
运用式(3.22)和胡克定律的关系式(3.12)，可以得到
Xx?C11exx?C12eyy?C13ezz?C14eyz?C15ezx?C16exy；
Yy?C21exx?C22eyy?C23ezz?C24eyz?C25ezx?C26exy； Zz?C31exx?C32eyy?C33ezz?C34eyz?C35ezx?C36exy； Yz?C41exx?C42eyy?C43ezz?C44eyz?C45ezx?C46exy； Zx?C51exx?C52eyy?C53ezz?C54eyz?C55ezx?C56exy； Xy?C61exx?C62eyy?C63ezz?C64eyz?C65ezx?C66exy
(3-23b)
依据晶体的自由能和应力的关系，假定胡克定律成立，弹性能密度U与应变成二次函数关系。与拉伸弹簧能量的表达式相比，得到了
U?1?ee (3-24)C??????2??1??166式(3.24)中求和符号包括从1到6，分别由下式定义
1?xx；2?yy；3?zz；4?yz；5?zx；6?xy (3-25)
应力分量用U对相应的应变求导得到
Xx??U?exx?e?1??C111?e12?U??(C?16?)e (3-26)?C?1???2根据式(3.25)，得到
C???12??C?)?C(C?????? (3-27)
如此，劲度系数cijkl的下标β和α具有轮换对置，6×6矩阵中的分量数目就减少到了21个。