高考数学第一轮复习知识点分类指导
一、集合与简易逻辑
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.
（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a?b|a?P,b?Q}，若P?{0,2,5}，
（答：8） Q?{1,2,6}，则P+Q中元素的有________个。
（2）非空集合S?{1,2,3,4,5}，且满足“若a?S，则6?a?S”，这样的S共有_____
个（答：7）
22. “极端”情况否忘记A??：集合A?{x|ax?1?0}，B?x|x?3x?2?0，且
??A?B?B，则实数a＝______.（答：a1?0,1,）
23.满足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。 （答：7）
4.运算性质：设全集U?{1,2,3,4,5}，若A?B?{2}，(CUA)?B?{4}，
(CUA)?(CUB)?{1,5}，则A＝_____，B＝___.（答：A?{2,3}，B?{2,4}）
x?2}，集合N＝?y|y?x2,x?M?，则
??M?N?___（答：[4??,)；（2）设集合M?{a|a）?(1,?2?)(?3?,4R)，,??N?{a|a?(2,3)??(4,5)，??R}，则M?N?_____（答：{(?2,?2)}）
6.补集思想：已知函数f(x)?4x2?2(p?2)x?2p2?p?1在区间[?1,1]上至少存在一
3个实数c，使f(c)?0，求实数p的取值范围。 （答：(?3,)）
25.集合的代表元素：（1）设集合M?{x|y?7.复合命题真假的判断：在下列说法中：⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件；⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是____答：⑴⑶）
8.充要条件：（1）给出下列命题：①实数a?0是直线ax?2y?1与2ax?2y?3平行的充要条件；②若a,b?R,ab?0是a?b?a?b成立的充要条件；③已知x,y?R，“若
xy?0，则x?0或y?0”的逆否命题是“若x?0或y?0则xy?0”；④“若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；
2（2）设命题p：|4x?3|?1；命题q:x?(2a?1)x?a(a?1)?0。若┐p是┐q的必要
1而不充分的条件，则实数a的取值范围是 （答：[0,]）
29. 一元一次不等式的解法：已知关于x的不等式(a?b)x?(2a?3b)?0的解集为1(??,?)，则关于x的不等式(a?3b)x?(b?2a)?0的解集为_______（答：{x|x??3}）
3210. 一元二次不等式的解集：解关于x的不等式：ax?(a?1)x?1?0。
11（答：当a?0时，x?1；当a?0时，x?1或x?；当0?a?1时，1?x?；当a?1aa1时，x??；当a?1时，?x?1）
a11. 对于方程ax?bx?c?0有实数解的问题。（1）?a?2?x2?2?a?2?x?1?0对一切
2x?R恒成立，则a的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）若在[0,]内有两个不等的实
2根满足等式cos2x?3sin2x?k?1，则实数k的范围是_______.（答：[0,1)）
12.一元二次方程根的分布理论。
（1）实系数方程x?ax?2b?0的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则取值范围是_________（答：（
2?b?2的a?11，1）） 42（2）不等式3x?2bx?1?0对x?[?1,2]恒成立，则实数b的取值范围是____（答：?）。
二、函 数
1.映射f: A?B的概念。
（1）设f:M?N是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在
N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；（2）点(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b)，则在f作用下点(3,1)的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，a,b,c?R，则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个，A到B的函数有 个（答：81,64,81）；（4）设集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5}，映射f:M?N满足条件“对任意的x?M，x?f(x)是奇数”，这样的映射f有____个（答：
12）
2.函数f: A?B是特殊的映射。若函数y?12x?2x?4的定义域、值域都是闭区间2[2,2b]，则b＝ （答：2）
3.若解析式相同，值域相同，但其定义域不同的函数，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为y?x2，值域为{4，1}的“天一函数”共有__个（答：9）
4.研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）函数y?x?4?x?lg?x?3?2?(2,3)?的定义域是____(答：(0,2)(3,)4)；（2）设函数
f(x)?lg(ax2?2x?1)，①若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；②若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围（答：①a?1；②0?a?1）
（2）复合函数的定义域：（1）若函数y?f(x)的定义域为?,2?，则f(log2x)的定义
22域为__________（答：x|2?x?4）；（2）若函数f(x?1)的定义域为[?2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）．
5.求函数值域（最值）的方法： （1）配方法―
21）当x?(0,2]时，函数f(x)?ax?4(a?1)x?3在x?2时取得最大值，则a的取值
???1???范围是___（答：a??1）； 2（2）换元法（1）y?2sin2x?3cosx?1的值域为_____（答：[?4,17]）； 82）y?2x?1?x?1的值域为_____（答：(3,??)）（令x?1?t，t?0。运用换元
3）y?sinx?cosx?sinx?cosx的值域为____（答：[?1,法时，要特别要注意新元t的范围）；
1?2]）； 24）y?x?4?9?x2的值域为____（答：[1,32?4]）；
2sin??12sin??13xy?（3）函数有界性法―求函数y?，y?，的值域（答：
1?sin?1?cos?1?3x13(??,]、,]）（0,1）、(??；
22192（4）单调性法――求y?x?(1?x?9)，y?sinx?的值域为______（答：
x1?sin2x8011(0,)、[,9]）；
92y22（5）数形结合法――已知点P(x,y)在圆x?y?1上，求及y?2x的取值范围
x?233（答：[?； ,]、[?5,5]）
33(a1?a2)2（6）不等式法―设x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值
b1b2范围是____________.（答：(??,0]?[4,??)）。
（7）导数法―求函数f(x)?2x?4x?40x，x?[?3,3]的最小值。（答：－48）
2??(x?1).(x?1)6.分段函数的概念。（1）设函数f(x)??，则使得f(x)?1的自变量x的
??4?x?1.(x?1)(x?0)?1 ?[0,10]取值范围是____（答：(??,?2]）；（2）已知f(x)??，则不等式
(x?0)??1 3x?(x?2)f(x?2)?5的解集是___（答：(??,]）
2327.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法―已知f(x)为二次函数，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式 。（答：f(x)?12x?2x?1） 22（2）配凑法―（1）已知f(1?cosx)?sinx,求fx2的解析式___（答：
112；（2）若f(x?)?x?2，则函数f(x?1)=___（答：f(x2)??x4?2x2,x?[?2,2]）
xxx2?2x?3）；
2（3）方程的思想―已知f(x)?2f(?x)?3x?2，求f(x)的解析式（答：f(x)??3x?）；
3??8. 反函数：
（1）函数y?x2?2ax?3在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是
A、a????,1? B、a??2,??? C、a?[1,2] D、a????,1???2,??? （答：D）
（2）设f(x)?(x?12)(x?0).求f(x)的反函数f?1(x)（答：f?1(x)?x1(x?1)）． x?1?1（3）反函数的性质：
①单调递增函数f(x)满足条件f(ax?3)= x ，其中a≠ 0 ，若f(x)的反函数f定义域为?,? ，则f(x)的定义域是____________（答：[4,7]）.
aa(x)的
?14???2x?3，若函数y?g(x)与y?fx?17称，求g(3)的值（答：）；
2②已知函数f(x)?③（1）已知函数f(x)?log3(?1(x?1)的图象关于直线y?x对
4； ?2)，则方程f?1(x)?4的解x?______（答：1）
x④已知f?x?是R上的增函数，点A??1,1?,B?1,3?在它的图象上，f?1?x?是它的反函数，那
么不等式f?1?log2x??1的解集为________（答：（2,8））；
9.函数的奇偶性。
（1）①定义法：判断函数y?|x?4|?42的奇偶性____（答：奇函数）。
9?x11?)的奇偶性___.（答：偶函数） ②等价形式：判断f(x)?x(x2?12③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。 （2）函数奇偶性的性质：若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)?f(|x|).
1若定义在R上的偶函数f(x)在(??,0)上是减函数，且f()=2，则不等式f(log1x)?238的解集为______.（答：(0,0.5)?(2,??)）
a·2x?a?2④若f(x)?为奇函数，则实数a＝____（答：1）. f(0)?0
2x?1f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)⑤设f(x)是定义域为R的任一函数， F(x)?，G(x)?。①
22x判断F(x)与G(x)的奇偶性； ②若将函数f(x)?lg(10?1)，表示成一个奇函数g(x)和一
1个偶函数h(x)之和，则g(x)＝____（答：①F(x)为偶函数，G(x)为奇函数；②g(x)＝x）
210.函数的单调性。
3（1）若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则f?(x)?0，已知函数f(x)?x?ax在区间
[1,??)上是增函数，则a的取值范围是____(答：(0,3]）)；
（2）若函数f(x)?x?2(a?1)x?2 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a的取值范围是______(答：a??3）)；
2（3）已知函数f(x)?ax?1在区间??2,???上为增函数，则实数a的取值范围_____（答：x?21(,??)）； 2（4）函数y?log1?x2?2x的单调递增区间是________(答：（1,2）)。
??2（5）已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数
12m的取值范围。（答：??m?）
2311. 常见的图象变换
?x①设f(x)?2,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y?x对称，h(x)的图像由g(x)的
图像向右平移1个单位得到，则h(x)为__________(答： h(x)??log2(x?1))
②函数f(x)?x?lg(x?2)?1的图象与x轴的交点个数有____个(答：2)
b?a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与x?a原图象关于直线y?x对称,那么
(A)a??1,b?0 (B)a??1,b?R (C)a?1,b?0 (D)a?0,b?R (答：
③将函数y?C)
1得到的。a1如若函数y?f(2x?1)是偶函数，则函数y?f(2x)的对称轴方程是_______(答：x??)．
2④函数y?f?ax?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴伸缩为原来的12. 函数的对称性。
①已知二次函数f(x)?ax2?bx(a?0)满足条件f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x12x?x)； 2x?33,(x?),若y?f(x?1)的图像是C1,它关于直线y?x对称②己知函数f(x)?2x?32图像是C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是_______（答：
x?2y??）；
2x?12③若函数y?x?x与y?g(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______（答：?x2?7x?6）
有等根，则f(x)＝_____(答：?13. 函数的周期性。
（1）类比“三角函数图像”已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程
f(x)?0在[?2,2]上至少有__________个实数根（答：5）
（2）由周期函数的定义
(1) 设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则f(47.5)等于_____(答：?0.5)；(2)已知f(x)是偶函数，且f(1)=993，g(x)=f(x?1)是奇函数，求f(2005)的值(答：993)；（3）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，