圆锥曲线问题解题方法
圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题
灵活运用定义，方法往往直接又明了。
例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线x2?y23?1，P为双曲线上一点。
求|PA|?12|PF|的最小值。
解析：如图所示，
?双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知1
2|PF|即点P到准线距离。
?|PA|?1|PF|?|PA|?|PE|?AM?522
二. 引入参数，简捷明快
参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标系，设点F到准线l的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数）
b，而c?t c ?b2?pc?pt
?p?2
再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则
??x?c?t ?
??y?b?pt 消去t，得轨迹方程y2?px
三. 数形结合，直观显示
将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知x,y?R，且满足方程x2?y2?3(y?0)，又m? 解析：?m?y?3，求m范围。 x?3y?3的几何意义为，曲线x2?y2?3(y?0)上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示 x?3 kPA?m?kPB ?3?33?5 ?m?22
四. 应用平几，一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
例4. 已知圆(x?3)2?y2?4和直线y?mx的交点为P、Q，则|OP||?OQ|的值为________。 解：??OMP~?OQN |OP||?OQ|?|OM||?ON|?5
五. 应用平面向量，简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
x2y2xy例5. 已知椭圆：??1，直线l：??1，P是l上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足
1282416|OQ||?OP|?|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程。
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
?????????? 解：如图，OQ，OR，OP共线，设OR??OQ，OP??OQ，OQ?(x，y)，则OR?(?x，?y)，OP?(?x，?y)
???2 ?|OQ||?OP|?|OR|
?2?22 ??|OQ|??|OQ|
????2
?点R在椭圆上，P点在直线l上 ??2x2122416x2y2xy 即???
2416128??2y2?1，
?x??y8?1
化简整理得点Q的轨迹方程为：
2(x?1)2(y?1)2 ??1（直线y??x上方部分）
55323
六. 应用曲线系，事半功倍
利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。
例6. 求经过两圆x2?y2?6x?4?0和x2?y2?6y?28?0的交点，且圆心在直线x?y?4?0上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为：
x2?y2?6x?4??(x2?y2?6y?28)?0 (1??)x2?(1??)y2?6x?6?y?(28??4)?0
?3?3?，)，在直线x?y?4?0上 1??1?? ?解得???7
则圆心为( 故所求的方程为x2?y2?x?7y?32?0
七. 巧用点差，简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。
y2例7. 过点A（2，1）的直线与双曲线x??1相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。
2 解：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
2