则x1、x2是上述方程的两根．且|x2?x1|?2AB边上的高h?|F1F2|sin?BF1F2?2c?11?k2|k|S?22c()2c 2221?2k1?k|k|1?k2,
2c1?k2，22c(1?k2)， 2|AB|?1?k|x2?x1|?1?2k21?2k2也可这样求解：
S?1|F1F2|?|y1?y2| 2 ?c?|k|?|x1?x2|
?22c21?k2|k|k2?k412?22c?22c2?2c2. 22411?2k1?4k?4k4?4k?k2ii) 当k不存在时，把直线x??c代入椭圆方程得y??由①②知S的最大值为2c2 由题意得
2c2=12
x212221c,|AB|?2c,S?2c?2c2 222?b2
所以c2?6?y262?1.
a2?122
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：
下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：x?my?c????①
（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.） 椭圆的方程为：x2?y2ab22?1,A(x1,y1),B(x2,y2)
由e?2得：2a?2c2,b2?c2,于是椭圆方程可化为：x2?2y2?2c2?0??② .2把①代入②并整理得：(m2?2)y2?2mcy?c2?0 于是y1,y2是上述方程的两根.
|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?1?m2|y2?y1|?1?m24m2c2?4c2(m2?2)m2?222c(1?m2), ?m2?2AB边上的高h?222c1?m2,
1m2?1?1?2m?12从而S?1|AB|h?1?22c(1?m2)2c1?m22??22c2m2?2(m?2)2?22c1?m2?2c2.
当且仅当m=0取等号，即Smax?2c2. 由题意知
2c2?12,
于是 b2?c2?62,a2?122.
x2122?y262?1.
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：
x2y2例5 已知直线y??x?1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l:x?2y?0上（１）.
ab求此椭圆的离心率；
（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2?y2?4上，求此椭圆的方程.
?y??x?1，讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由? 得 ?x2y2?2?2?1b?a(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0,
2a22b2根据韦达定理，得 x1?x2?22,y1?y2??(x1?x2)?2?22,
a?ba?ba2b2 ∴线段AB的中点坐标为（22,22）.
a?ba?b2a22b2 由已知得22?22?0,?a2?2b2?2(a2?c2)?a2?2c2，故椭圆的离心率为e? .
2a?ba?b （2）由（1）知b?c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0), 设F(b,0)关于直线l:x?2y?0的对称点为
(x0,y0),则y0?01x?by34???1且0?2?0?0,解得 x0?b且y0?b
55x0?b22220203242x2y22由已知得 x?y?4,?(b)?(b)?4,?b?4，故所求的椭圆方程为??1 .
5584 例6 已知⊙M：x2?(y?2)2?1,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，
（1）如果|AB|?42，求直线MQ的方程；（2）求动342，可得 3弦AB的中点P的轨迹方程.
讲解:（1）由|AB|?|MP|?|MA|2?(|AB|22221)?12?()?,由射影定理，得 233|MB|2?|MP|?|MQ|,得|MQ|?3,
在Rt△MOQ中，
|OQ|?|MQ|2?|MO|2?32?22?5，故a?5或a??5， 所以直线AB方程是2x?5y?25?0或2x?5y?25?0;
（2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由点M，P，Q在一直线上，得
2y?2?,(*) ?ax由射影定理得|MB|2?|MP|?|MQ|,即x2?(y?2)2?a2?4?1,(**) 把（*）及（**）消去a，并注意到y?2，可得x2?(y?)2?
741(y?2). 16适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.
2。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E2 例7 如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=
过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设围．
讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB
22y=?22?()2?22∴动点P的轨迹是椭圆∵
22x2?y2?1 . 是 2A O B C DM??，试确定实数?的取值范DN|=| CA |+| CB |
a?2,b?1,c?1∴曲线E的方程
（2）设直线L的方程为 y?kx?2, 代入曲线E的方程x2?2y2?2，得(2k2?1)x2?8kx?6?0设M（1x1,y1),则
????(8k)2?4(2k?1)?6?0,① ? 8k?, ② ?x1?x2??22k?1? 6?x1x2?2.③ ?2k?1?N(x2,y2),