不定积分 内容概要
名称 不 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均定 有 F?(x)?f(x) 积 或dF(x)?分 f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 主要内容 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，的 记为 概 ?f(x)dx?F(x)?C 为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 （1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均念 注：性 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx质 性质2：?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C； 性质3：?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。 计 设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有算 第一换换元公式： 不 方 元 定 法 积分法 积 分 （凑微分法） ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 第二类 设换元积 分法 x??(t)单调、可导且导数不为零，有原函数F(t)?1f[?(t)]??(t)，则 ?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?F(t)?C?F(?(x))?C 分部积?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x) 分法 1
有理函若有理函数为假分式，则先将其变为多项数积分 式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 本在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分章 的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程的无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，地 最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程位更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积与 分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题作会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一用 章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)?dxx2x
1x2思路: 被积函数 解：?dxx2?52x?x3?52，由积分表中的公式（2）可解。
2???xdx??x2?C
3x1x)dx
★(2)?(3x?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：?(x?)dx??(x?x)dx??xdx??xdx?3x3?2x2?C
4x3??11312131241（2x?x2）dx ★(3)?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
2
2x13（2?x）dx??2dx??xdx??x?C 解：?ln23x2x2★(4)?x(x?3)dx
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：?2x(x?3)dx??xdx?3?xdx?x2?2x2?C
53212533x4?3x2?1dx ★★(5)?2x?13x4?3x2?112?3x?思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，22x?1x?1分别积分。
3x4?3x2?1123dx?3xdx?dx?x?arctanx?C 解：?22??x?11?xx2dx ★★(6)?1?x2x2x2?1?11?1?思路:注意到2?1?x1?x21?x2，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，
分别积分。
x2解：?2dx??dx??12dx?x?arctanx?C.
1?x1?x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
x1（-+★(7)?34-）dx 2xx3x4思路:分项积分。
x1（-+解：?3411?3?4-）dx?xdx?dx?3xdx?4xdx 34????2xxx2x134?x2?ln|x|?x?2?x?3?C. 423★(8)?(32?)dx 221?x1?x思路:分项积分。 解：?(3211?)dx?3dx?2dx?3arctanx?2arcsinx?C. 22??221?x1?x1?x1?x★★(9)?xxxdx
3
思路:解：?xxx?？看到xxx?x111??248?x78，直接积分。
8xxxdx??xdx?x8?C.
151dx 22x(1?x)7815★★(10)?思路:裂项分项积分。 解：?111111dx?(?)dx?dx?dx???arctanx?C. ?x21?x2?x2?1?x2xx2(1?x2)e2x?1★(11)?xdx
e?1e2x?1(ex?1)(ex?1)dx??(ex?1)dx?ex?x?C. 解：?xdx??xe?1e?1★★(12)?3xexdx
x（3e）思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3xex?。
x（3e）解：?3edx??（3e）dx??C.
ln(3e)xxx★★(13)?cot2xdx
思路:应用三角恒等式?cot2x?csc2x?1?。 解：?cot2xdx??(csc2x?1)dx??cotx?x?C
2?3x?5?2xdx ★★(14)?x32?3x?5?2x2x?2?（5），积分没困难。 思路:被积函数
3x32()x2x3解：?2?3?x5?2dx??（2?（5））dx?2x?5?C.
33ln2?ln3★★(15)?cos2xdx
2xx思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解：?cos2xd??1?cosxdx?1x?1sinx?C.
2222★★(16)?1dx 1?cos2x思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
11112dx??dx?secxdx?tanx?C. 1?cos2x2?22cos2x★(17)?cos2xdx
cosx?sinx解：?思路:不难，关键知道?cos2x?cos2x?sin2x?(cosx?sinx)(cosx?sinx)?。
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cos2xdx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C.
cosx?sinxcos2xdx ★(18)?22cosx?sinx解：?思路:同上题方法，应用?cos2x?cos2x?sin2x?，分项积分。
cos2xcos2x?sin2x11dx?dx?dx?x 解：?222222???cosx?sinxcosx?sinxsinxcosx??csc2xdx??sec2xdx??cotx?tanx?C.
★★(19)?(1?x1?x?)dx 1?x1?x1?x1?x1?x1?x2????1?x1?x1?x21?x21?x2思路:注意到被积函数 解：?(，应用公式(5)即可。
1?x1?x1?)dx?2?dx?2arcsinx?C. 21?x1?x1?x1?cos2xdx ★★(20)?1?cos2x1?cos2x1?cos2x121??secx?思路:注意到被积函数 ，则积分易得。
1?cos2x222cos2x1?cos2x11tanx?xdx??sec2xdx??dx??C. 解：?1?cos2x222★2、设?xf(x)dx?arccosx?C，求f(x)。
知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：解：等式两边对x求导数得：
xf(x)??11?x2d[f(x)dx]?f(x)即可。 dx?,?f(x)??1x1?x2
★3、设f(x)的导函数为sinx，求f(x)的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知，f(x)??sinxdx??cosx?C1
（?cosx?C1）dx??sinx?C1x?C2。 所以f(x)的原函数全体为：?12xxexx★4、证明函数e,eshx和echx都是的原函数
2chx-shx知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：只需验证即可。
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