??dt1611111?dt?dt?dt(5?4t)(t2?1)9?5?4t18?t?12?t?1
411?ln5?4t?ln1?t?ln1?t?C9182dx411??ln5?4sinx?ln1?sinx?ln1?sinx?C.
(5?4sinx)cosx9182??注：比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单！ ★★★★(8)?1?sinxdx
(1?cosx)sinx思路：将被积函数分项得，对两个不定积分分别利用代换t?cosx和万能代换！ 解：
??1?sinx11??
(1?cosx)sinx(1?cosx)sinx1?cosx1?sinx11dx??dx??dx
(1?cosx)sinx(1?cosx)sinx1?cosx1dtdx，令t?cosx,x?(0,?)，则dx??,sinx?1?t2;
(1?cosx)sinx1?t2对积分?1dtdt1?t2 ??dx?????22?2(1?cosx)sinx(1?t)(t?1)(1?t)(t?1)(1?t)1?t?dt令
1ABC???(1?t)2(t?1)t?11?t(1?t)2，等式右边通分后比较两边分子t的同次项的系数
得：
1?A??4A?B?0??11111111??B?????????2A?C?0解之得：??4(1?t)2(t?1)4t?141?t2(1?t)2?A?B?C?1??1?C???2?
??1111111dt?dt?dt?dt4?t?14?1?t2?(1?t)2(1?t)2(t?1)
1111?lnt?1?lnt?1???C14421?t11111dx?ln1?cosx?ln1?cosx???C1;
(1?cosx)sinx4421?cosx??1x1?t22dtdx，令t?tan,cosx?,dx?对积分?1?cosx21?t21?t2
36
2dt2dt221x1?t1?t??dx????dt?t?C?tan?C2;21?t2?1?t2?1?cosx21?1?1?t21?t21?sinx1111x??dx?ln1?cosx?ln1?cosx???tan?C3 (1?cosx)sinx4421?cosx2?1x1xxlntan?tan2?tan?C.22422dx1?x?13★★(9)?
思路：变无理式为有理式，变量替换t?31?x。 解：令t?31?x，则 1?x?t3,dx?3t2dt;
dx3t2dtt2dt132????3?3(t?1)dt?3dt?t?3t?3lnt?1?C????31?t1?t1?t21?x?1
3?3(1?x)2?331?x?3ln31?x?1?C.2★★(10)?1?(x)31?xdx
x。
思路：变无理式为有理式，变量替换t?解：令t???1?(x)3x，x?t2,dx?2tdt;
1?(t)3dx??2tdt?2?(t2?t?1)tdt?2?(t3?t2?t)dt1?t1?x
31212?t4?t3?t2?C?x2?x2?x?C.2323★★(11)?x?1?1dx 1?x?1x?1。
思路：变无理式为有理式，变量替换t?解：令t?x?1，则x?1?t2,dx?2tdt;
x?1?1t?1t2?tt2?t2??dx??2tdt?2?dt?2?dt?2?(t?2?)dt1?t1?t1?t1?t1?x?1★★★(12)?4dxx?x1?2?tdt?4?dt?4?dt?t2?4t?4lnt?1?C?x?4x?1?4ln(x?1?1)?C1?t
思路：变无理式为有理式，变量替换t?8x。 解：令t?8x,x?t8,dx?8t7dt;
??4dx8t7t5t5?t3?t3?t?tt3??24dt?8?dt?8dt?8(t?t?)dt222??t?t1?t1?t1?tx?x
?2t4?4t2?4ln(1?t2)?C?2x?44x?4ln(1?4x)?C★★★(13)?x3dx1?x2
37
思路：变无理式为有理式，三角换元。 解：令x?tant,t??2,则dx?sec2tdt.
??x3dx1?x2??tan3tsectsec2tdt??tan3tsectdt??tan2tdsect??(sec2t?1)dsect
?1sec3t?sect?C?13331?x2?1?x2?C.★★★(14)?a?xa?xdx 思路：将被积函数a?xxa?x 变形为a?
a2?x2后，三角换元。解：令x?asint,t??2;则dx?acostdt；
??a?xa?xdx??a?xa?asinta2?x2dx??acostacostdt?a?(1?sint)dt
?at?acost?C?aarcsinxa?a2?x2?C.注： 另一种解法，分项后凑微分。 ?a?xa?xdx??a?xa2?x2dx??aa2?x2dx??xa2?x2dx ??adx?112?a2?x2d(a2?x2)?aarcsinxa?a2?x2?C a1?(x)2a★★★(15)?dx3(x?1)2
(x?1)4思路：换元。 解：令x?1?2x?1?t，则
(x?1)2dx?dt. ??dxdx111?23313(x?1)2(x?1)4??3(x?1??32(?2)dt??2?tdt??2t3?Cx?1)2(x?1)2t ??33x?12x?1?C.
总习题四
★1、设f(x)的一个原函数是e?2x，则f(x)?().
(A) e?2x (B) -2e?2x (C) -4e?2x (D) 4知识点：原函数的定义考察。 思路分析：略。
38
e?2x 解：(B)。
★2、设?xf(x)dx?arcsinx?C，则?dx? 。 f(x)知识点：原函数的定义性质考察。
思路分析：对条件两边求导数后解出f(x)后代入到要求的表达式中，积分即可。 解：对式子?xf(x)dx?arcsinx?C两边求导数得：
xf(x)?11?x2,?f(x)?1x1?x2,?1f(x)?x1?x2;??dxf(x)??x1?x2dx?12?1?x2dx2??11
2?1?x2d(1?x2)??3(1?x2)3?C★★3、设
f(x2?1)?lnx2x2?2，且f(?(x))?lnx，求??(x)dx。
知识点：函数的定义考察。
思路分析：求出f(x)后解得?(x)，积分即可。 解：f(x2?1)?lnx2x2?1?1t?1?(x)?1x2?2?lnx2?1?1,?f(t)?lnt?1,?f(?(x))?ln?(x)?1,
又
f(?(x))?lnx,??(x)?1?(x)?1=x,??(x)?x?1x?1; ???(x)dx??x?1x?1dx??(1?2x?1)dx?x?2lnx?1?C ★★★4、设F(x)为f(x)的原函数，当x>0时，有f(x)F(x)?sin22x，且F(0)?1，试求f(x)。
知识点：原函数的定义性质考察。 思路分析：注意到dF(x)?f(x)dx，先求出F(x)，再求f(x) 即可。
解：
f(x)F(x)?sin22x；??f(x)F(x)dx??sin22xdx
即?F(x)dF(x)??sin22xdx,?12(F(x))2??sin22xdx,
?(F(x))2?2?sin22xdx??(1?cos4x)dx?x?14sin4x?C;
又F(0)?1,?C?1;?(F(x))2?x?14sin4x?1;(x?0.)
又F(x)?0,?F(x)?x?14sin4x?1, 又f(x)F(x)?sin22x,?f(x)?sin22x。
x?14sin4x?15、求下列不定积分。
39
F(x)?0 知识点：求不定积分的综合考察。 思路分析：具体问题具体分析。 ★★(1)?x2?5xdx
思路：变无理式为有理式，变量替换t?2?t22t,dx??dt, 解：令t?2?5x，则x?552?5x。
2?t22t2221??x2?5xdx??t?(?dt)???(2t2?t4)dt??(t3?t5)?C55252535
4230x?8??(2?5x)3?(2?5x)5?C??(2?5x)3?C.75125375★(2)?dxxx?12(x?1)
思路：变无理式为有理式，变量替换x?sect。 解：令x?sect,0?t??，则dx?secttantdt。
2??dxxx2?1??secttant1dt??dt?t?C?arccos?C secttantx2x3x★★★(3)?xxdx
9?42x2x()xxx23思路：将被积函数xx 变为3x=3229?4x21?(x)21?[()]33后换元或凑微分。
解：令t?(2)x，则dt?(2)xln2dx。
3332x()2x3x1dt1113??xdx?dx??(?)dt?2x2ln2?ln3?1?t22(ln3?ln2)?t?1t?19?4x1?[()]3
2x()?11t?11?ln?C?ln3?C.22(ln3?ln2)t?12(ln3?ln2)()x?1313x?2x ?ln?C 2(ln3?ln2)3x?2xx2★★(4)?66dx(a?0)
a?x思路：凑微分。 解：
x211113dx?dx?dx3,令t?x3, 632?a6?x63?a6?x6?3a?(x) 40