解：
d1ddex?e2x，而[(e2x)]?[exshx]?[exchx]?e2x
dx2dxdxchx?shx★5、一曲线通过点(e2,3)，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。
知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。
解：设曲线方程为y?f(x)，由题意可知：
d1[f(x)]?，?f(x)?ln|x|?C； dxx又点(e2,3)在曲线上，适合方程，有3?ln(e2)?C,?C?1， 所以曲线的方程为f(x)?ln|x|?1.
★★6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t2(m/s)，问： （1） （2）
在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ 物体走完360米需要多少时间？
知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：y?则由速度和位移的关系可得：
f(t)，
d[f(t)]?3t2?f(t)?t3?C， dt又因为物体是由静止开始运动的，?f(0)?0,?C?0,?f(t)?t3。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为:f(3)?33?27米； (2)令t3?360?t?3360秒。 习题4-2
★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。
思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：(1)dx?1d(7x?3);(2)xdx??1d(1?x2);(3)x3dx?721d(3x4?2); 12 6
1dx1dx1d(e2x);(5)?d(5ln|x|);(6)??d(3?5ln|x|);2x5x5 1dx1dx1(7)dt?2d(t);(8)?d(tan2x);(9)?d(arctan3x).223cos2x21?9xt(4)e2xdx?2、求下列不定积分。
知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。
思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ ★（1）?e3tdt 思路:凑微分。
解：?e3tdt?1?e3td(3t)?1e3t?C
33★(2)?(3?5x)dx 思路:凑微分。
31解：?(3?5x)dx???(3?5x)d(3?5x)??1(3?5x)4?C
520★(3)?1dx
3?2x33思路:凑微分。 解：?1111dx???d(3?2x)??ln|3?2x|?C. 3?2x23?2x2★(4)?315?3xdx
思路:凑微分。 解：?12?1111133dx??d(5?3x)??(5?3x)d(5?3x)??(5?3x)?C. ??333325?3x5?3xxb★(5)?(sinax?e)dx
思路:凑微分。
解：?(sinax?e)dx?1?sinaxd(ax)?b?ebd(x)??1cosax?beb?C
aba★★(6)?costtdt
12tdt，凑出d(t)易解。
xbxx思路:如果你能看到d(t)? 7
解：?costtdt?2?costd(t)?2sint?C
★(7)?tan10xsec2xdx 思路:凑微分。
解：?tan10xsec2xdx??tan10xd(tanx)?111tan11x?C. ★★(8)?dxxlnxlnlnx
思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 解：?dxxlnxlnlnx??d(ln|x|)lnxlnlnx??d(ln|lnx|)lnlnx?ln|lnlnx|?C
★★(9)?tan1?x2xdx 1?x2思路:本题关键是能够看到xdx 是什么，是什么呢？就是1?x2d1?x2！这有一定难度！ 解：?tan1?x2xdx1?x2??tan1?x2d1?x2??ln|cos1?x2|?C
★★(10)?dxsinxcosx
思路:凑微分。 解：
方法一：倍角公式sin2x?2sinxcosx。
?dxsinxcosx??2dxsin2x??csc2xd2x?ln|csc2x?cot2x|?C
方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。
?dxsinxcosx??cosxsinxcos2xdx??121tanxsecxdx??tanxdtanx?ln|tanx|?C
方法三： 三角公式sin2x?cos2x?1，然后凑微分。
?dxsin2sinxcosx??x?cos2xsinxcosxdcosxdsinxsinxcosxdx??cosxdx??sinxdx???cosx??sinx
??ln|cosx|?ln|sinx|?C?ln|tanx|?C ★★(11)?dxex?e?x
思路:凑微分：dxexdxdexdexex?e?x?e2x?1?1?e2x?1?(ex)2。
解：dxexdxdex?ex?e?x??e2x?1??1?(ex)2?arctanex?C ★(12)?xcos(x2)dx
8
思路:凑微分。
解：?xcos(x2)dx?1?cosx2dx2?1sinx2?C
222★★(13)?思路:由解：?xdx2?3x
1dx21d(2?3x2)凑微分易解。 ???22222?3x62?3x2?3xxdx1?1d(2?3x2)1122??????(2?3x)d(2?3x2)??2?3x2?C 6632?3x22?3x2xdx★★(14)?cos2(?t)sin(?t)dt 思路:凑微分。
解：?cos2(?t)sin(?t)dt?1?cos2(?t)sin(?t)d?t??1?cos2(?t)dcos(?t)
????1cos3(?t)?C. 3?3x3dx ★★(15)?1?x4思路:凑微分。
3x334x331313444dx?dx?dx??d(1?x)??ln|1?x|?C. 解：?4444???41?x41?x41?x41?x★(16)?sinxdx 3cosx思路:凑微分。 解：?sinx111dx??dcosx??C. ?cos3x2cos2xcos3x★★(17)?x92?x20dx
思路:经过两步凑微分即可。 解：?111dx??dx10??102?x20102?x20x911?(x102)21x10d?arcsin()?C 2102x10★★(18) ?1?x9?4x2dx
思路:分项后分别凑微分即可。 解：?1?x9?4x2dx??19?4x2dx??x9?4x2dx
9
12x11d??d4x22x2389?4x21?（）3112x11??d??d（9?4x2） 222x2389?4x1?（）312x1?arcsin()?9?4x2?C.234?12?★★(19) ?dx 2x2?1思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：???1221dxdx111??(?)dx 2x2?1?(2x?1)(2x?1)2?2x?12x?111?)d2x2x?12x?111d(2x?1)?2x?122?(22??11d(2x?1)?ln2x?1222x?1?C.2x?1
★(20)?xdx(4?5x)2
思路:分项后分别凑微分即可。 解：??xdx14?5x?4111??（）dx?（?4）d(4?5x) 222??(4?5x)5(4?5x)254?5x(4?5x)1141141d(4?5x)?d(4?5x)?ln|4?5x|??C.
25?4?5x25?(4?5x)225254?5xx2dx★(21)?(x?1)100
思路:分项后分别凑微分即可。
x2dx(x?1?1)2dx(x?1)2(x?1)1解：???(?2??(x?1)100(x?1)100(x?1)100)dx (x?1)100?(x?1)100??(??111?2?)d(x?1) 9899100(x?1)(x?1)(x?1)111111???C.
97(x?1)9749(x?1)9899(x?1)99xdx x8?1★★(22)?思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：?xdxxdx1111112??(?)xdx?(?)dx 8444444???2x?1x?14x?1x?1x?1(x?1)(x?1) 10