解：?11?xdx??11?xd(x?1)?21?x?C.
令f(x)?21?x?C，又f(0)?1，可知C??1，
?f(x)=21?x?1.
★★★5、设In??tannxdx,，求证：In?1tann?1x?In-2，并求?tan5xdx。 n?1思路:由目标式子可以看出应将被积函数tannx 分开成tann?2xtan2x，进而写成：
tann?2x(sec2x?1)?tann?2xsec2x?tann?2x，分项积分即可。
证明：In??tannxdx??(tann?2xsec2x?tann?2x)dx??tann?2xsec2xdx??tann?2xdx
??tann?2xdtanx?In?2?1tann?1x?In?2.n?1111 n?5时，I5??tan5xdx?tan4x?I3?tan4x?tan2x?I14421111?tan4x?tan2x??tanxdx?tan4x?tan2x?lncosx?C.4242习题4-3 1、
求下列不定积分：
知识点：基本的分部积分法的练习。
思路分析：严格按照?‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。?的原则进行分部积分的练习。 ★（1）?arcsinxdx
思路:被积函数的形式看作x0arcsinx，按照?反、对、幂、三、指?顺序，幂函数
x0优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx。
解：?arcsinxdx?xarcsinx??x?xarcsinx?1?x2?C.
11?x2dx?xarcsinx?112d(1?x) ?221?x★★（2）?ln(1?x2)dx 思路：同上题。
2x2x22dx?xln(1?x)??dx 解：?ln(1?x)dx?xln(1?x)??x1?x21?x2222(x2?1)?2dx2?xln(1?x)??dx?xln(1?x)?2dx?2??1?x21?x2?xln(1?x2)?2x?2arctanx?C.2
★（3）?arctanxdx
16
思路：同上题。
dx1d(1?x2)解：?arctanxdx?xarctanx??x2?xarctanx??
1?x21?x21?xarctanx?ln(1?x2)?C
2★★(4)?e?2xsinxdx
2思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。 解：?e?2xsinxdx??sinxd(?1e?2x)??1e?2xsinx?1?e?2x1cosxdx
222222221x1x1??e?2xsin??cosd(?e?2x)224221x11x1x??e?2xsin?(?e?2xcos??e?2xsindx)2242242
1?2xx1?2xx1?2xx??esin?ecos??esindx2282162x2e?2xxx?2x??esindx??(4sin?cos)?C.21722★★(5)?x2arctanxdx
思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。
x3解：?xarctanxdx??arctanxd()?1x3arctanx??1x312dx
3331?x2131x131x3?x?x?xarctanx?(x?)dx dx ?xarctanx??33?1?x2331?x21311x131211xarctanx??xdx??dx?xarctanx?x?d(1?x2)22?3331?x3661?x
111?x3arctanx?x2?ln(1?x2)?C.366?★(6)?xcosxdx
2思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。 解：?xcosxdx?2?xdsinx?2xsinx?2?sinxdx?2xsinx?4?sinxdx
2222222 ?2xsinx?4cosx?C.
22★★(7)?xtan2xdx
思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。 解：?xtan2xdx??x(sec2x?1)dx??(xsec2x?x)dx??xsec2xdx??xdx
11??xd(tanx)??xdx?xtanx??tanxdx?x2?xtanx?lncosx?x2?C.
22★★(8)?ln2xdx
思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。
17
解：?ln2xdx?xln2x??x?2lnx?1dx?xln2x?2?lnxdx?xln2x?2xlnx?2?x?1dx
xx?xln2x?2xlnx?2?dx?xln2x?2xlnx?2x?C.
★★(9)?xln(x?1)dx
思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。
x2121x2解：?xln(x?1)dx??ln(x?1)d?xln(x?1)??dx
222x?1111121x2?1?1)dx dx?x2ln(x?1)??(x?1? ?xln(x?1)??22x?122x?1?12111xln(x?1)?x2?x?ln(x?1)?C 2422ln2x★★(10)?2dx
x思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。
ln2x解：?2dx??ln2xd(?1)??1ln2x??12lnx?1dx??1ln2x?2?ln2xdx
xxxxxxx11121122??ln2x?2?lnxd(?)??ln2x?lnx?2?2dx??ln2x?lnx??C xxxxxxxx ??1(ln2x?lnx?2)?C
x★★(11)?coslnxdx
思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。 解：?coslnxdx?xcoslnx??xsinlnx?1dx?xcoslnx??sinlnxdx
x1?xcoslnx?xsinlnx??xcoslnx?dx?xcoslnx?xsinlnx??coslnxdxx
x??coslnxdx?(coslnx?sinlnx)?C.2★★(12)?ln2xdx
x思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。 ★★(13)?xnlnxdx(n??1)
思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。
xn?11n?11n?11?xlnx??x?dx 解：?xlnxdx??lnxdn?1n?1n?1xn?1n?11n1n?1?1?xlnx??xdx?x?lnx???C. n?1n?1n?1(n?1)??★★(14)?x2e?xdx
思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。
18
解：?x2e?xdx??x2e?x??e?x2xdx??x2e?x?2xe?x?2?e?xdx
??x2e?x?2xe?x?2e?x?C??e?x(x2?2x?2)?C
★★(15)?x3(lnx)2dx
思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。 解：?x3(lnx)2dx??(lnx)2d(1x4)?1x4(lnx)2?1?x4?2lnx?1dx
444x14111x(lnx)2??x3lnxdx?x4(lnx)2??lnxdx442481111111?x4(lnx)2?x4lnx??x4?dx?x4(lnx)2?x4lnx??x3dx 488x48811111?x4(lnx)2?x4lnx?x4?C?x4(2ln2x?lnx?)?C.483284?★★(16)?lnlnxdx
x思路： 将积分表达式lnlnxdx写成lnlnxd(lnx)，将lnx看作一个整体变量积分即可。
x解：?lnlnxdx??lnlnxd(lnx)?lnxlnlnx??lnx?x111?dx?lnxlnlnx??dx lnxxx?lnxlnlnx?lnx?C?lnx(lnlnx?1)?C.
★★★ (17) ?xsinxcosxdx
思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。 解：?xsinxcosxdx??1xsin2xdx?1?xd(?1cos2x)??1xcos2x?1?cos2xdx
222441111??xcos2x??cos2xd2x??xcos2x?sin2x?C. 4848★★(18)?x2cos2xdx
2思路：先将cos2x降幂得1?cosx，然后分项积分；第二个积分严格按照?反、对、
22幂、三、指?顺序凑微分即可。
解：?x2cos2xdx??(1x2?1x2cosx)dx?1?x2dx?1?x2cosxdx
222221312111x??xdsinx?x3?x2sinx??2xsinxdx62622
13121312?x?xsinx??xdcosx?x?xsinx?xcosx??cosxdx6262??1312x?xsinx?xcosx?sinx?C 62★★(19)?(x2?1)sin2xdx
思路：分项后对第一个积分分部积分。
解：?(x2?1)sin2xdx??x2sin2xdx??sin2xdx??x2d(?1cos2x)?1cos2x
22 19
??12x2cos2x?12?2xcos2xdx?12cos2x??112x2cos2x?2?xdsin2x?111112cos2x??2x2cos2x?2xsin2x?2?sin2xdx?2cos2x??1 2x2cos2x?12xsin2x?114cos2x?2cos2x?C??12x2cos2x?12xsin2x?34cos2x?C??12(xsin2x?3x2)cos2x?2sin2x?C.★★★(20)?e3xdx
思路：首先换元，后分部积分。 解：令t?3x，则x?t3,dx?3t2dt,
??e3xdx??et3t2dt?3?ett2dt?3?t2det?3t2et?3?2tetdt?3t2et?3?2tdet?3t2et?6ett?6?etdt?3t2et?6ett?6et?C ?33x2e3x?6e3x3x?6e3x?C?3e3x(3x2?23x?2)?C.★★★(21)?(arcsinx)2dx
思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。解：?(arcsinx)2dx?x(arcsinx)2??x?2arcsinx1?x2dx
?x(arcsinx)2??arcsinx21?x2d(1?x2)?x(arcsinx)2?2?arcsinxd(1?x)
?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2?1?x2?11?x2dx?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2?dx?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2x?C.(22)?exsin2xdx
思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。解：方法一：
?exsin2xdx??sin2xdex?exsin2x??ex2sinxcosxdx
?exsin2x??exsin2xdx?exsin2xdx??sin2xdex?exsin2x??ex2cos2xdx?ex
sin2x?2?cos2xdex?exsin2x?2excos2x?4?exsin2xdx??exsin2xdx?ex(sin2x?2cos2x)5?C
??esin2xdx?exx5(5sin2x?sin2x?2cos2x)?C方法二：
?exsin2xdx??ex1?cos2x2dx?12?exdx?12?excos2xdx?12ex?12?excos2xdx
?excos2xdx??cos2xdex?excos2x??ex2sin2xdx?excos2x?2?sin2xdex 20
★★ ★