第十二章 静电场
课 后 作 业
1、一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下
半部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求圆心O处的电场强度．
y
解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处取微小电荷 + Q dq = ?dl = 2Qd? / ?
R 它在O处产生场强
x dqQO dE??d? 2分
4??0R22?2?0R2－Q 按?角变化，将dE分解成二个分量：
dEx?dEsin??Q2?2?0R2sin?d?
dEy??dEcos???QQ2??0R22cos?d? 3分
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
???/2? Ex??sin?d???sin?d??＝0 2分
2?2?0R2??0?/2??/2???Q?Qcos?d??cos?d??? Ey? 2分 ??22?2?2?0R2????R00?/2?????Q?j 1分 所以 E?Exi?Eyj?22??0R
2、如图所示，一电荷面密度为?的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．
解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为
E=? / (2?0) 2分
以图中O点为圆心，取半径为r→r＋dr的环形面积，其电量为
dq = ?2?rdr 2分
它在距离平面为a的一点处产生的场强 dE??ardr2?0a?rdr 则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为 O r ?aRrdr E? 3/2?223/2? 2分
2?0??a02?r2? - 1 -
??2?0?a?1??a2?R2??? ??由题意,令E=? / (4?0)，得到R＝3a 2
3、图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小．
球形电容器的电容
C?4??ab b?a3分
当内外导体间电势差为U时，电容器内外球壳上带电荷 q?CU? a O 4??abU
b?a?qbU电容器内球表面处场强大小为 E? 3分 ???4??a2a?b?a?欲求内球表面的最小场强，令dE/da=0，则
b
??dE11??0 ?bU??22?daa?b?a???a?b?a???0 2
d2Eb得到 a? 并有
da22a?b/2分
可知这时有最小电场强度 Emin?
4、一球体内均匀分布着电荷体密度为?的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为O?,两球心间距离OO??d,如图所示. 求:
bU4U 2分 ?a?b?a?b?(1) 在球形空腔内,球心O?处的电场强度E0.
?(2) 在球体内P点处的电场强度E.设O?、O、P 三点在同一直径上，且OP?d.
解：挖去电荷体密度为??的小球，以形成球腔时的求电场问题，
?可在不挖时求出电场E1，而另在挖去处放
上电荷体密度为－?的同样大小的球体，求
?出电场E2，并令任意点的场强为此二者的
叠加，即可得
? P E1P O ??? E0?E1?E2 2分
O P E1O’ E2P r -? E2O’=0
图(b)
在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，则可求出O?与P处场强的大小.
图(a) ? O d E1P ? P EP E2P EO’=E1 O’ - 2 - 图(c)
图(d)
???14?32有 E＝E=E?d E?dS?E?4?d??d?1O’1P11?S13?0?03方向分别如图所示. 3分
在图(b)中，以O?点为小球体的球心，可知在O?点E2=0. 又以O? 为心，2d为半径作球面为高斯面S? 可求得P点场强E2P
?S???E2?dS??E2?4?(2d)2?4?r3(??)/?3?0?
E2P?(1) 求O?点的场强EO' . 由图(a)、(b)可得
?d EO’ = E1O’ =， 方向如图(c)所示. 2分
3?0?(2)求P点的场强EP.由图(a)、(b)可得
EP?E1P?E2P
?r3?? 3分 212?0d??3?0?r3???d?4d2?? 方向如(d)图所示. 2分 ??教师评语 教师签字 月 日 第十三章 电势
课 后 作 业
1、一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为
?．如图所示，试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O点的电
势为零)．
RO? 解：将题中的电荷分布看作为面密度为?的大平面和面密度为－?的圆盘叠加的
结果．选x轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x处产生的场强为
?σx?i? 2分 ?E1?2?0x圆盘在该处的场强为
???σx?1?1??i ?
??222?0?xR?x?????σxi? 4分 ∴ E?E1?E2?222?0R?x ?E2?? POx
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该点电势为 U??0x?2?0xdxR?x22??R?R2?x2 4分 2?0??2、图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为?，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求球层中半径为r处的电势．
解：r处的电势等于以r为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势U1和球面以外的电荷产生的电势U2之和，即 U= U1 + U2 ，其中
R1 O r R2 ?4?/3??r3?R13?? U=q / (4??r)?1
i
0
4??0r??3?0?2R13???r?r?? ?? 4分
为计算以r为半径的球面外电荷产生的电势．在球面外取r?─→r?＋dr?的薄层．其电荷为 dq=?24?r?2dr? 它对该薄层内任一点产生的电势为
dU2?dq/?4??0r????r?dr?/?0
??R2???rdr?R2?r2? 4分 则 U2??dU2???0r2?02于是全部电荷在半径为r处产生的电势为
?2R13??22???? r??R?r2??2?r0??2R13???22?3R2?r?? ?? 2分 6?0?r???U?U1?U2?3?0若根据电势定义直接计算同样给分．
3、在强度的大小为E，方向竖直向上的匀强电场中，有一半径为R的半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如图所示)．槽的质量为M，一质量为m带有电荷＋q的小球从槽的顶点A处由静止释放．如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所受电场力，求： (1) 小球由顶点A滑至半球最低点Ｂ时相对地面的速度； (2) 小球通过B点时，槽相对地面的速度；
(3) 小球通过B点后，能不能再上升到右端最高点C？ ? ?E E 解：设小球滑到B点时相对地的速度为v，槽相对地的速度为V．小球从A→B过程中球、槽组成的系统水平方向动量守恒， A m,q C mv＋MV＝0 ① M 2分 B 11对该系统，由动能定理 mgR－EqR＝mv2＋MV2 ②
22
3分
①、②两式联立解出 v?2MR?mg?qE? 2分 m?M?m?- 4 -
方向水平向右．
V??mv2mR?mg?qE??? 1分 MM?M?m?方向水平向左． 1分
小球通过B点后，可以到达C点． 1分
4、两个同心的导体球壳，半径分别为R1＝0.145 m和R2＝0.207 m，内球壳上带有负电荷q＝-6.03108 C．一电子以初速度为零自内球壳逸出．设两球壳之间的区域是真空，
-
试计算电子撞到外球壳上时的速率．(电子电荷ｅ＝-1.6310
-
-19
C，电子质量me＝9.131031
-
kg，?0＝8.8531012 C2 / N2m2）
解：由高斯定理求得两球壳间的场强为 E?q4??0r2 ?R1?r?R2? 2分
方向沿半径指向内球壳．电子在电场中受电场力的大小为 F?eE?eq 2分 24??0r?11?eq?R2?R1????? 2分 ?R?R4??RR2?012?1方向沿半径指向外球壳．电子自内球壳到外球壳电场力作功为
A??R2R1eqFdr?4??0?R2R1eqdr?4??0r2由动能定理
eq?R2?R1?1mev2? 2分 24??0R1R2eq?R2?R1?＝1.983107 m/s
2??0R1R2me得到 v?
教师评语
教师签字 月 日 第十四章 静电场中的导体
课 后 作 业
1、厚度为d的“无限大”均匀带电导体板两表面单位面积上电荷之和为? ．试求图示离左板面距离为a的一点与离右板面距离为b的一点之间的电势差．
?1adb2解：选坐标如图．由高斯定理，平板内、外的场强分布为：
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