电磁测深教程 第四章 静态效应
Marseille的小波会议上，小波的理论和应用得到较为系统的总结，从会议的论文集（Combes et al 1989）可以看出小波理论和应用得到快速的发展，但理论上还不怎么成熟。直到1990年，日本京都的国际数学大会，小波理论得到了全面的发展。1992年I. Daubechies的专著（Daubechies 1992）和C. K. Chui主编的小波分析和它的应用（C. K. Chui，1992）对小波理论和应用作了较全面的总结。从他们的著作中可以看到小波分析既可以看作是数学理论中Fourier分析的崭新发展，也可以认为是信号分析、图像处理、量子物理等科学和工程技术近十年来在处理方法上的重大突破。 4.5.1 Fourier变换和窗口Fourier变换
长期以来，在各种信号数据的处理方面，特别在频谱分析和各种波方法中最基本的数学工具就是Fourier分析。在数学上，我们常用函数来刻画信号，通常总是把时间或空间作为自变量，而把反映某一信号的物理量作为函数。信号的一个重要特征就是它的频率特性（或频谱），在数学上也就是信号所表示的函数的
Fourier变换。一个信号f?x??L2?R?的Fourier变换定义为：
?????1?f?x?e?i?xdx (4.5.1) f2????其逆变换为：
????e?i?xd? (4.5.2) f?x???f???????刻画了f(x)的频谱特性。所谓频谱分析、滤波等信号数据处理的方法，f从数学的角度看来就是对一个函数的Fourier变换进行分析、加工处理的种种技巧。这方面已有非常丰富的内容与许多行之有效的方法。但是，Fourier分析只能分别在空间域和频率域上研究函数的性质，在频率域上对空间的分辨率为零，对频率分辨率无穷；而在空间域上，对空间的分辨率为无穷，频率分辨率为零（当然Heisenberg不确定性大批量排除了分别在空间和频率上均有任意高分辨率的可能性）。此外，从(4.5.1)看出信号的突变展现在整个频率轴上，无法表征突变发生的位置。因此，Fourier变换反映的是信号或函数的整体特征，在不少实际问题中我们所关心的却是信号在局部范围中的特征。例如，在音乐和语言信号中人们关心的是什么时刻演奏什么音符，发出什么样的章节；对地震波的记录来说，人们关心的是什么位置出现什么样的反射波；图形识别中的边缘检测，关心的是信号突变部分的位置。为了弥补Fourier变换这方面的不足，1946年Gabor，D.引进了窗口Fourier变换的概念。他用一个在有限区间（称为窗口）外恒等于零的光滑函数（这个有限区间的位置随一个参数而定）去乘所要研究的函数，然后对它作Fourier变换。即：
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1Gf??,b??2?????e?i?xg?x?b?f?x?dx (4.5.3)
其中g?x?是有限支集的窗函数，一般情况是实函数，且满足如下标准化条件：
?和
???g?x?dx?1
2????????d??0 xg?x?dx?0 或 ??g22???这就是长期以来使用的标准的空（时）间域—频率域局部性分析的工具。窗口Fourier变换半离散形式在信号分析中是常用的，即令b=nb0，??m?0，这里n，m?Z，Z为整数集且b0,m0均为大于零的常数，那么（4.5.3）式化为：
Gf?m,n??12?????e?im?0xg?x?nb0?f?x?dx
由窗口Fourier变换Gf??,b?可重构f?x?：
f?x??????????Gf??,b?ei?xg?x?b?d?db
对于给定的n，Gf (m，n)对应于f???g???nb0?的Fourier系数。注意到窗口函数g?x?具有紧支集，通过选择恰当ω0，Fourier系数Gf (m，n)可以刻画
f???g???nb0?的结构。改变位置参数n，相当于窗口在移动，从而达到在不同地方研究f (x)的局部特征。
但是，窗口Fourier变换(4.5.3)对f (x)的研究是定分辨率的，即一旦窗口函数g(x)选定，则窗口的形状、大小在各个不同的位置或时间均是不变的。但实际中，对高频信号的分辨率应高于对低频信号的分辨率，因而频率愈高窗口应愈小。此外，在实际计算中必须将连续的Gabor变换离散化，例如在Fourier变换中，离散化以后得到按正交的三角函数系展开的Fourier级数。然而，对于窗口Fourier变换无论如何离散化均不可能使g?x?nb0?e?um?0x（m，n∈Z）成为L2(R)的正交基，这对理论分析和实际计算都是不利的。加上Gabor变换其它的一些缺点，它未能得到广泛的应用与发展。
小波变换继承发展了窗口Fourier变换的局部化思想，它同时具有空间域（或时间域）——频率域双重局部性的特点，并且对不同频率成份在空间域（或时间域）上的取样步长是可变的，具有调节性，即随着频率的增高小波函数的窗口变窄。在这个意义上，小波可以当作“显微镜”来工作。另外，小波还可以当作“偏光镜”来工作，以分开研究对象不同角度的贡献（Farge 1992）。这一思想，对于地下介质界面为高维曲面的情况进行成像是十分有用的。
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另外，小波变换与窗口Fourier变换相比还有下面一个重要的优点，即小波函数通过适当的离散化后能构成L2(R)空间的规范正交基，而且这样的小波可同时具有很好的空（时）间域——频率域双重局部性。这对于原始信号进行多频谱分解和重构是十分重要的，特别是在电磁法数据处理和资料解释以及重磁区域异常和局部异常的分层次提取中有重要的应用。 4.5.2 连续小波变换及其性质 1.连续小波变换的定义
我们称满足条件：
???a,b?x????????2?d??? (4.5.4) ??1的平方可积函数??x?（即??x??L2?R?）为一个基本小波或小波母函数。令：
1a???x?b??，a,b?R,a?0 (4.5.5) ?a?称为由母函数ψ生成的依赖于参数a，b的连续小波。设f?x??L2?R?，定义其小波变换为：
Wf?a,b??f,?a,b?1a?x?b?f?x????dx (4.5.6)
?a?????由上面的定义可见，连续小波?a,b?x?之作用与Gabor变换中的函数
g?x?b?e?i?x相类似，参数b都起着平移的作用。本质不同的是参数a与ω，后者的变化不改变“窗口”g(x)的大小与形状，而前者的变化不仅改变连续小波的频谱结构，而且也改变其窗口的大小与形状。这是因为由Fourier变换的基本关
???????1f??系式：若fa?x??f?ax?，则f??，可见随着a的减小，?a,b?x?的频aa?a?谱就愈集中于高频部分，而其支集supp?a,b则随a的减小面愈狭小（这里仅考虑小波母函数ψ具有紧支集的特殊情况）。这就满足了信号频率愈高相应的窗口就小，因而它在时间（或空间）域上的分辨率亦愈高的要求。
现在来看一下小波母函数??x?满足条件(4.5.4)究竟说明什么问题。我们进一步假定??x??L1?R?（这一要求并不高，今后我们用到的小波母函数都满足此条
????是连续函数。于是，由条件(4.5.4)可知???0??0，这等价于： 件），则????x?dx?0 (4.5.7) 反之，若???x?dx?0，且??x??c?1?x?,??0（这也是要求不高的条
????1????? 286
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?????d???。因此实际上遇到的小波母函数均满足条件），则不难证明??2?1???件???x?dx?0，故??x?一定是振荡型的函数（正负部分互相抵消），这也是小
???波这一名称的由来。利用Fourier变换的Parseval恒等式及Fourier变换的基本
性质可得：
Wf?a,b??f,?a,ba1??a,b??f,?2?2???????????a??ei?bd? (4.5.8) f?(4.5.8)式为计算函数的连续小波变换提供了有效的算法。
与Fourier变换、Gabor变换类似，小波变换也有的反演公式及“Parseval等式”：
?????d?,令 c????2?1???f,g?L2?R?
则在f的连续点有反演公式：
f?x??1c?????????Wf?a,b??a,b?x?dadb (4.5.9) 2a小波变换的“Parseval等式”：
??1c?2.小波变换的基本性质
??????Wf?a,b?Wg?a,b?dadb?c?f,g (4.5.10) 2a????Wf?a,b?2?dadb2???fxdx (4.5.11) 2???a下面，我们不加证明给出连续小波变换的性质。
(1)在Hilert空间，连续小波变换为线性变换，将函数分解成不同的尺度的分量。 (2)平移性
f?x??f?x?u?,Wf?a,b??Wf?a,b?u?
(3)伸缩性
f?x??f?sx?,Wf?a,b??1sWf?sa,sb?
反映了小波变换象一个数学显微镜，具有不依靠放大率的特征。 (4)内积不变性（又称恒等分辨，resolution of identity）
对?f?x?,g?x??L2?R?，有
????????f,?a,b?a,b,gdbda?c?f,g a2当f?x??g?x?时，在变换域保持能量守恒。
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(5)再生(reproducing)条件
Wf?a,b??1c?????????k?a,b;a?,b??Wf?a?,b??da?db? 2a?再生核方程(reproducing kernel equation)
k?a,b;a?,b???W?a,b?a?,b????a?,b?,?a,b
反映了连续小波变换是冗余的。
在实际应用中，常常用到小波变换的局部化特征，下面我们对此作重点分析。 a) 空间（或时间）局部性
根据小波变换的定义式(4.5.6)，一般来说不能保证小波变换具有局部性。小波变换的值既依赖于分析对象f(x)，又依赖于小波??x?的选择以及伸缩参数a和平移参数b。
然而，若选择小波??x?具有紧支集，即??x?在某一有限有区间[xmin，xmax]外恒为零，那么情况又如何呢？为了研究这一问题，我们引入空间—尺度（或时间—尺度）平面H?b?R,a?R?。如果我们只对尺度a>0的情况感兴趣，则只要考虑空间—尺度半平面H?b?R,a?R?。取空间变量b轴为水平的，向右为正，而取尺度变量a轴垂直向下，向下的方向为增加的方向。
下面我们考虑如下两个问题：
（1）函数f(x)在x0处的值影响空间—尺度平面H内哪些区域上的小波变换的值？
从小波变换定义式(4.5.6) ，我们容易看出x0点的影响域是如图4.5.1所画的锥形区域，其中锥宽由小波??x?的支集来确定。即在a=a0处锥宽为：
a0?xmax?xmin? (4.5.12)
图4.5.1 锥形区域 图4.5.2 倒锥形区域
（2）对于空间—尺度平面上一给定点(b0，a0)处的小波变换的值Wf(a0，b0)将受到哪些点上的f(x)的值影响？
和前一个问题的道理一样。根据(4.5.6)式，如图4.5.2所示的倒锥形在b轴
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