全国2012年4月高等教育自学考试
高等数学试题
课程代码：00020
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.函数y=f(x)的图形如图所示，则它的值域为( ) A.[1,4） B.[1,4] C.[1,5) D.[1,5]
2.当x→0时，下列变量为无穷小量的是( ) A.xsin1x2 B.
1xsinx C.e?x
D.1?x2 3.设函数f(x)可导，且limf(1)?f(1?x)x?0x??1，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( A.1 B.0 C.-1 D.-2
4.曲线y?1(x?1)2的渐近线的条数为 ( ) A.1 B.2 C.3
D.4
5.下列积分中可直接用牛顿-莱布尼茨公式计算的是( )
A.?11?1xdx B.?11?（12x+1）2dx C.
?11?1x2dx
D.
?11?11?x2dx
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)???2,|x|?1?1,|x|>1,则f [f(1)]=______. nk7.已知lim??3??1?n???e?3，则k=______.
n???8.若级数
un的前n项和S1n?2?1n??1n?1,则该级数的和S=______. 第 - 1 - 页 共 125 页
)
9.设函数f(x)可微，则微分d[ef(x)]=______. 10.曲线y=3x5-5x4+4x-1的拐点是______.
11.函数f(x)?x?arctanx在闭区间[-1,1]上的最大值是______.
d2xsin2udu=______. 12.导数
dx?013.微分方程x(y??)?2xy??y?0的阶数是______. 14.设D?{(x,y)|x?y?4}，则二重积分15.设函数f(x,y)?ln(x?222??dxdy?______.
Dy＇)，则偏导数fy(0,1)?______. 2三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
1cos，求导数f?(x).
xtanx?x17.求极限lim.
x?0sinx?x132218.求函数f(x)?x?2x?3x?的极值.
33??1dx. 19.计算无穷限反常积分I=??3x2?6x?1016.设函数f(x)?e?x220.计算二重积分I=??(3x?2y)dxdy，其中D是由直线
Dx+y=1及两个坐标轴围成的区域，如图所示.
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21.确定常数a,b的值，使函数f(x)??x?0?3sinx,在点x=0处可导.
?aln(1?x)?bx?022.设某商品的需求函数为Q(P)=12-0.5P（其中P为价格）. （1）求需求价格弹性函数. （2）求最大收益. 23.计算定积分I=?220x2(1?x)23dx.
五、应用题（本题9分） 24.设曲线y?如图所示.
（1）求D的面积A.
（2）求D绕x轴一周的旋转体体积Vx.
六、证明题（本题5分）
1
与直线y=4x,x=2及x轴围成的区域为D， x
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25.设函数z=xy+f(u)，u=y2-x2，其中f是可微函数. 证明：y?z?z?x?x2?y2. ?x?y
全国2012年1月高等教育自学考试
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.下列函数中为奇函数的是（ ）
ex?e?xA.f(x)?
2C.f(x)?x3?cosx
?ex?e?xB.f(x)?
2D.f(x)?x5sinx
2.当x?0时，下列变量为无穷小量的是（ ） A.e C.x sin
1xB.ln x
1 xD.
1sinx x?ln(1?x), x?03.设函数f (x)=?2,则f (x)在点x=0处（ ）
?x, x?0A.左导数存在，右导数不存在 C.左、右导数都存在
B.左导数不存在，右导数存在 D.左、右导数都不存在
4.曲线y=3x?2在x=1处的切线方程为（ ） A.x-3y-4=0 C.x+3y-2=0
B.x-3y+4=0 D.x+3y+2=0
5.函数f (x)=x2+1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值公式的中值?=（ ） A.1 C.
5 46 53D. 2B.
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
?3?2x?6.函数f (x)=1???的定义域为_________.
5??2?x?7.设函数f (x)=?(1?x), x?0在点x=0处连续，则a=_________.
??acosx, x?028.微分d(e-2+tanx)=_________. 第 - 3 - 页 共 125 页
9.设某商品的需求函数为Q=16-4p，则价格p=3时的需求弹性为_________. 10.函数f (x)=x-2cos x在区间[0,
?]上的最小值是_________. 2x2?2x?311.曲线y=的铅直渐近线为_________.
x2?112.无穷限反常积分
???02xdx=_________. 1?x413.微分方程xy′-2y=0的通解是_________. 14.已知函数f (x)连续，若?(x)=x
?x1f (t)dt，则?′(x)=_________.
15.设函数z=sin(xy2)，则全微分dz=_________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.求数列极限lim(6n?2)sinn??213n2?1.
17.设函数f (x)=1?x2arctan x-ln(x+1?x2)，求导数f′(1). 18.求极限limx?0x?sinx1?x?13. 319.求不定积分xlnx dx.
?20.设z=z(x，y)是由方程xz+y2+ez=e所确定的隐函数，求偏导数四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分) 21.确定常数a,b的值，使得点(1,
??z?x.
(0,0)1132)为曲线y=x?ax?bx?1的拐点. 2422.计算定积分I=
?20cosx?cos3x dx.
23.计算二重积分I=
??D11?x4dxdy，其中D是由曲线y=x3，
x=l及x轴所围成的区域，如图所示. 五、应用题（本题9分）
24.设D是由曲线y=ex，y=e-x及直线x=l所围成的平面区域， 如图所示. (1)求D的面积A.
(2)求D绕x轴一周的旋转体体积Vx.
六、证明题（本题5分） 25.证明：当x>0时，e2x>1+2x.
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全国2011年10月高等教育自学考试
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.下列函数中为偶函数的是（ ） A.x+sinx C.2x+2-x
2.lim(sinn?nsin)?（ ）
n??B.x3cosx D.2x-2-x
1n1nA.-1 C.1
B.0 D.∞
3.曲线y=x3在点（1，1）处的切线斜率为（ ） A.0 C.2
4.设函数f(x)?A.-2 C.1
5.下列无穷限反常积分发散的是（ ） A.C.
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.已知f(x?1)?x?1,则f(x)? ________________________.
7.若函数f(x)=错误！未找到引用源。在x=0点连续，则b = ________________________. 8.设函数f(x)可导，且y=f(x2)，则错误！未找到引用源。 ________________________.
2??B.1 D.3
1?x，则f?(0)=( ) 1?xB.-1 D.2
????1??e?xdx 1dx x2B.D.
?1??exdx 1dx 1?x21?1Ey?1?9.设函数y?1600??,则弹性
Ex?4?2x?________________________.
x?310.函数y?x?ln(5?x)的单调增加区间为 ________________________. 11.函数f(x)?x?12x在[-3,3]上的最大值是________________________. 12.设函数f(x)?sinx,则
232?f?(x)dx?________________________.
13.由曲线y?x与直线y=1所围成的平面图形的面积等于________________________. 14.定积分
?1?1(|x|?sinx)dx?________________________.
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