第22页
?p??c （3.18）
23.4.2相关矩阵
为了保持信道模型的简单性，假设信道的传输系数a?l?mn服从零均值的复高斯分布，即a?l?mn的模a?l?mn服从Rayleigh分布。并对该统计MIMO信道模型进一步作出如下假设：
（1）同一多径下传输系数的平均功率相等，即
P?E?al?l?2mn?对所有n??1,2,?N??m??1,2,?M??l1? （3.19）
（2）信道为广义平稳非相关散射(WSSUS,Wide Sense Stationary Uncorrelated Scattering)信道,不同的多径下(或者不同的时延下)的信道传输系数不相关，即下式成立
amn,a?l2?mn?0 当 l1?l2 （3.20）
上式中的符号a,b表示求a和b之间的相关系数；
（3）两个接收天线衰落系数的相关性与发射天线是哪一个无关；同样，两个发射天线之间的相关性与接收天线是哪一个也没有关系。
定义接收端第m1根天线和第m2根天线之间的相关系数为：
RX ?m1m2?am1n,am2n （3.21）
上式间接地使用了上述的第3个假设，即接收端天线的相关系数与发射端的天线无关。只要发射端的天线间距并不太大，而且每根天线具有相同的辐射模式，这个假设就是合理的。因为从这些天线上发射出去的电磁波照射到接收端周围相同的散射体上，在接收端会产生相同的PAS，也会产生相同的空间相关函数。
同样地，定义发射端第n1根天线和第n2根天线之间的相关系数为：
TX ?n1n2?amn1,amn2 （3.22）
根据式（3.21）和式（3.22），分别定义接收端和发射端的两个对称相关矩阵RRX和RTX为：
RXRX??11??12??1RXM?RXRXRX?????21222M? RRX?? （3.23） ???????RXRXRX????M1?M2??MM??M?M
第23页
TX??11?TX?21?R? TX???TX???N1TX?12TX?22?TX?N2???1TXNTX???2N? (3.24)
???TX???NN??N?N然而，仅有发射端的空间相关矩阵和接收端的空间相关矩阵并不能为产生矩
阵Hl提供足够的信息。因此，需要确定连接两组不同天线之间的任意两个传输系数的空间相关性。为此，定义
11 ?n2m22?am1n1,am1n2 （3.25）
nm在上述第3个假设的条件下，从理论上可以证明，式（3.20）与下式等价：
nmRXTX?nm??nn?mm112212112 （3.26）
根据式（3.26），MIMO信道的整体相关矩阵可以表示为发射端相关矩阵与接
收端相关矩阵的Kronecker乘积[17]：
RMIMO?RTX?RRX (3.27)
上式中，符号?表示矩阵的Kronecker乘积运算。
在对信道的空间相关性进行建模时，按照式（3.27）对RTX和RRX作矩阵的Kronecker乘积，得到MIMO信道的整体相关矩阵RMIMO，然后对RMIMO作相应的矩阵分解，从而得到MIMO信道的空间相关矩阵。 3.4.3相关系数的产生
前面已经指出，两个天线阵元间的相关系数主要取决于发射端和接收端天线的拓扑结构、天线间距、发射信号的离开角AOD与角度扩展AS、接收信号的到达角AOA与AS以及角度功率谱PAS等MIMO信道的空间参数。本小节将详细讨论这些空间参数与天线元之间的空间相关系数的关系。
常见的角度功率谱PAS主要有3种分布：均匀分布、高斯分布和拉普拉斯分布。本节的讨论将基于上述3种分布的PAS，给出天线元之间的相关系数与天线的归一化间距(以载波波长进行归一化)之间的函数关系。在讨论中，仍然假设天线为全向天线，天线阵列结构为ULA，并且电波以波簇(cluster)的形式传播，每一波簇都具有相同的PAS谱。
（1）均匀分布PAS
多簇的均匀分布PAS的表达式为：
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PASu(?)??Qu,k?????(?0,k???k)????????0,k???k???k?1Nc （3.28）
其中，?(?)为单位阶跃函数，Nc为波簇的数目，?0为平均到达角AOA，??为
AOA的变化范围。考虑到潜在的功率不平衡波簇，可以推出归一化常数Qu,k使得PASu(?)满足概率分布函数的要求：
??
PAS??u(?)d???Nc?0,k???kk?1?0,k???Q?ku,kd??1 （3.29）
由上式可得
2?Qu,k???1k?1Nc （3.30）
令D?2?d?，其中，d为天线元之间的间距，?为载波波长，d?为天线元之间的归一化间距。可以推出两根全向天线接收到的复基带信号的实部与虚部之间的互相关系函数：
?
RXX(D)??cos(Dsin?)PAS(?)d??? （3.31）
虚部与虚部之间的互相关函数与上式相同。另一方面，实部与虚部之间的互相关函数定义为：
?
RXY(D)??sin(Dsin?)PAS(?)d??? (3.32)
将均匀分布PAS的表达式代入RXX(D)的表达式（2.31），得到：
RXX,U(D)?J0(D)?4?Qu,k?k?1NcJ2m(D)cos2(m?0,k)sin2(m??k)2mm?1 （3.33）
?其中，同样地，将PAS的表达式代入到式（3.32），Jm(?)为m阶第一类贝塞尔函数。
得到：
RXY,U(D)?4?Qu,k?k?1m?0Nc?J(2m?1)(D)2m?1??2m?1??0,k?sin??2m?1????sin （3.34）
（2）高斯分布PAS
高斯分布PAS的表达式为：
PASG(?)??k?1NcQG,k2??G,k?(???0)2?exp????????0,k???k?????????0,k???k?????2?2?G,k?（3.35）
第25页
同样可以推出其归一化常数QG,k应该满足：
?Q
k?1NcG,kerf(??k)?12?G,k （3.36）
其中，erf(?)为复数的误差函数。
将PASG(?)的表达式代入（3.31）和（3.32），可以得到高斯分布PAS下的复基带信号的实部与虚部的两个互相关函数分别为：
RXX,G(D)?J0(D)??QG,k?J2m(D)cos(2m?0,k)exp(?2m2?2G,k)k?1m?1Nc?
??????????kk???Re?erf?jm2?G,k?erf??jm2?G,k???2?????2?G,k?G,k????? （3.37） ? 和
1??RXX,G(D)?J0(D)??QG,k?J?2m?1?(D)sin(?2m?1??0,k)exp(?2?m???2G,k)2??k?1m?1 ??????????k1??k???Re?erf?j?m??2?G,k?erf??jm2?G,k???????2?2?2???G,kG,k?????（3.38） ?
其中，Re?x?表示取x的实部。
（3）拉普拉斯分布PAS
拉普拉斯分布的PAS谱被认为是与城区和农村地区的信道测量结果吻合得最好的一种分布。其表达式为：
PASL(?)??l?1NcNc?2QL,k2?L,k?2???0exp???L,k?????????0,k???k?????????0,k???k???????（3.39）
??]?1?? （3.40）
其归一化条件由下式给出：
?2??k?Q[1?exp??L,k??L,kk?1?
Nc拉普拉斯分布PAS下的复基带信号的两个互相关函数分别为：
RXX,L(D)?J0(D)?4?k?1NcQL,k2?L,kJ2m(D)?22m?1()?(2m)2??L,k
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?2cos(2m?0,k)??exp?2m2?2G,k???L,k??????
??2cos2(m??k)??2msin2(m??k)????L,k? （3.41） ?和
RXY,L(D)?4?k?1NcQL,k2?L,km?0?(?J?2m?1?(D)2
?L,k)2?(2m?1)2
?2?2??ksin[?2m?1??0,k]??exp?????L,kL,k??? ?????? ????2????????2m?1sin[2m?1??]?cos[2m?1??]?kk????L,k? (3.42) ?根据上面推导出的表达式，可以定义复数相关系数?c?D?和功率相关系数
?p?D?的表达式如下：
??D??RXX(D)?jRXY(D)c (3.43) (3.44)
??D??pRXX(D)?jRXY(D)2正如前面所述，一般复数相关系数的性能要优于功率相关系数，因为后者失去了前者的相位信息。
3.5本章小结
对于MIMO无线信道的建模来说，无论采用哪种建模方法，首先应该能够准确地反映实际MIMO无线衰落信道的时域和频域的衰落统计特征，其次，还应该能够比较准确地描述引入了多天线阵列后的信道空域衰落统计特性，特别是信道的空间相关性。
本章在对无线信道的特性的研究以及现有的信道模型总结的基础上，根据发射端和接收端天线的拓扑结构、天线间距、发射信号的离开角与角度扩展、接收信号的到达角与角度扩展、角度功率谱、多普勒功率谱和多径分量的功率时延分布，建立了MIMO无线信道模型，该MIMO信道模型可以看成是SISO信道模型的一个推广，可以作为研究MIMO无线通信系统的一个通用的空时信道模型。