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《函数、不等式、导数》专题分析
函数、方程、不等式是一个有机的统一体，其中函数是核心，而导数又是研究函数变化率、解决函数问题的有力工具。新教材引入导数的内容后，拓展了高中数学学习和研究的领域，也为高中数学解题增添了新的工具，新的思路。此外，由于导数的工具性和导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数等知识联系紧密，在这些知识交汇点处设计层次不同，难度可控的试题，以考查学生对知识的整体把握和综合能力正成为高考试卷中新的综合热点。所以在复习中一定要使学生明确导数的地位和作用，特别是，什么情况下应用导．．．．．．．．数一定要让同学们心中有数，在应用的过程中注意什么更应该清楚。 ．
一 命题研究 年份 考点 导数的概念及运湖南T6 算 函数的切线、切线倾斜角、导数的几何意义 湖北T7、湖南T21、全国ⅡT21、安徽T7、浙江T8、全国ⅡT8、辽宁T22、全国ⅡT22、江苏T15、浙江T20、广东T12、安徽T18、福建T19、重庆T12 湖南T13 天津T20 江西T5、辽宁T12、江苏T13、安徽T20、全国ⅢT22、江西T7 函数的单调性 全国ⅠT21、四川T22、福建T20、湖北T19、湖南T21、天津T10、北京T16、上海T22、辽宁T22、浙江T22、辽宁T22、北京T15 山东T18、江西T17 山东T22、全国ⅠT20 陕西T20、上海T19 湖北T13、浙江T15、北京T19、福建T22、广东T20、海南T21、全国ⅠT22、全国Ⅱ函数的极值或最值 T22、北京T15、重庆T19 广东T18、福建T21、辽宁T22、山东T21、辽宁T21 四川T20、天津T21、重庆T20、全国ⅠT20、全国ⅡT22 从上述表格中可以看出，这几年的高考试卷中，每年都有导数题目，必有一道大题考查利用
天津T20、安徽T20、湖北T20、湖南T19、江西T5 陕西T21 海南T10、江苏T9、2005 2006 2007 海南T10 2
导数研究函数的极值，单调区间，实际应用证明不等式等问题。从这几年的高考题可以看出综合性越来越强，灵活性较大，知识内容的考查具有深度。 二 本专题在高考命题中的热点、难点
①求函数的极值、最值；
②求函数的单调区间、证明函数的单调性； ③三次函数或超越函数的切线问题； ④解决实际应用问题；
⑤构造函数，通过求导法证明不等式．
三 应用中的注意事项
① 会优先考虑利用导数求函数的极值、最值，注意极值与最值的区别与联系；
② 利用导数解决函数的单调性、单调区间问题时，注意转化的等价性；
③ 导数与函数图象的混合问题，尤其是三次函数的切线问题，审题时要注意相关点．．．
的位置；
四 导数在函数中的应用问题归类解析
1、导数定义与求导法则和函数求导公式的应用
例1、设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，?，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（C）
A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
点评： 本题考查了三角函数求导公式及函数的周期性，属于起点题.题目虽然十分基础,但命题形式生动活泼.须要认识其周期性规律,方能快速给出答案. 例2、已知函数f(x)??3574f(x??x)?f(x)x?x?8，il?_________. 则m?x?056?x例3、已知函数y?f(x)在x?a处可导，且导数值f'(a)?A.试求
limx?af(2x?a)?f(2a?x).
x?a解：设x?a?h，则当x?a时有h?0，因而
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f(2x?a)?f(2a?x)x?ax?af(a?2h)?f(a?h)?limh?0hf(a?2h)?f(a)?f(a)?f(a?h)?lim h?0hf(a?2h)?f(a)f(a?h)?f(a)?2lim?limh?0h?02h?h?2f'(a)?f'(a)?3Alim例4、已知f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0),
x?x02x?3f(x).
x?3x?3f(3)?2,f'(3)??2,试求lim2x?3f(x)x?3x?32x?6?6?3f(x)?limx?3x?3f(x)?6]解：?lim[2?
x?3x?33[f(x)?f(3)]?lim{2?}x?3x?3?2?3f'(3)?8lim1221kk1nn0?c1x?cx???cx??cnx,n?N* 例5、已知函数f(x)?cnnnn2kn求
?x?0limf(2?2?x)?f(2??x)的值.
?xf(2?2?x)?f(2??x)?x?0?x[f(2?2?x)?f(2)]?[f(2??x)?f(2)]解：?lim
?x?0?xf(2?2?x)?f(2)f[(2?(??x)]?f(2)?2lim?lim2?x?0??x?02?x??xlim1?2f?(2)?f?(2)?3f?(2)
2kk?1nn?1∵f?(x)?c1??cnx n?cnx??cnx2kk?1nn?1∴f?(2)?c1 ?c2???c2???cnnnn2 4
111n22kknnn(2c1?2c???2c???2c)?[(1?2)?1]?(3?1). nnnn222点评：本题是导数定义及多项式求导法则与二项式定理有关知识的综合交汇成的一道好题.解决此题的关键在于由待求式的特征联想到导数的定义，灵活的运用导数的定义把待求值的式子化简后求值.注意定义式的等价形式
?f(x0??x)?f(x0)?x?0?xf(x0?m?x)?f(x0) ?limm?x?0m?xf[x0?(?m?x)]?f(x0)?lim?m?x?0?m?xf'(x0)?lim
2、导数的几何意义的运用 例6、(1）（全国一文11）曲线y?角形面积为（ A ）
12A． B．
9913?4?x?x在点?1，?处的切线与坐标轴围成的三3?3?2 31 C．
3 D．
1x2（2）（全国二文8）已知曲线y?的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
24（ ）
A．1
B．2 C．3 D．4
（3） 在函数y?x3?8x的图象上，其切线的倾斜角小于
?的点中，坐标为整数4的点的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0
8?解：切线的斜率k?f'(x)?3x2?8，倾斜角小于?0?k?1??x2?3，
34 所以不存在符合条件的整数x，故应选D.
点评：这三个题考查导数几何性质的运用及斜率和倾斜角的关系，属于中低档题，立足此三者交汇处设计试题是常考常新，值得关注.
18例7、曲线y?x3上一点P（2，），求过点P的切线方程.
338 错解：由y'=x2,y'|x?2?4得切线方程是y??4(x?2)，即12x-3y-16=0.
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8剖析：虽然点P（2，）在曲线上，但过点P的切线不一定以P为切点.本题
3中所求的是“过P点的切线”，而不只是求“切点是P”的切线，所以过点P但不以P为切点的切线方程也是符合题意的.
正解：当P为切点时，同上解；当P点不是切点时，设切点为Q(x0,y0),
1382?x(x?x) 则切线方程为y?xx，因为切线过点P（2，）,代入求得切点0030381为Q（2，）（即与P点重合）或Q(-1,?)?切线3x-2y+2=0,所以所求的切线
33有两条。
点评： 注意对切点的具体分析。无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，
首先都是求（或设）切点坐标(x0,f(x0))，得出切线的斜率f'(x0)，再解决问题。曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条。
例8、（全国二理 22）已知函数f(x)?x3?x． （1）求曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；
（2）设a?0，如果过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，证明：
?a?b?f(a)．
解：（1）求函数f(x)的导数；f?(x)?3x2?1．
曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为：
y?f(t)?f?(t)(x?t)，
即 y?(3t2?1)x?2t3．
（2）如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使
b?(3t2?1)a?2t3．
于是，若过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，则方程
2t3?3at2?a?b?0
有三个相异的实数根． 记 g(t)?2t3?3at2?a?b，