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则 g?(t)?6t2?6at
当t变化时，g(t)，g?(t)变化情况如下表：
?6t(t?a)．
t g?(t) (??，0) 0 0 极大值(0，a) a 0 极小值(a，??) ? ? ? g(t) ? a?b ? b?f(a) ? 由g(t)的单调性，当极大值a?b?0或极小值b?f(a)?0时，方程g(t)?0最多有一个实数根；
当a?b?0时，解方程g(t)?0得t?0，t?的实数根；
a当b?f(a)?0时，解方程g(t)?0得t??，t?a，即方程g(t)?0只有两个
23a，即方程g(t)?0只有两个相异2相异的实数根．
综上，如果过(a，b)可作曲线y?f(x)三条切线，即g(t)?0有三个相异的实
?a?b?0，数根，则?
?b?f(a)?0.即 ?a?b?f(a)．
例9、（2007菏泽模拟）已知函数f(x)?x2(ax?b)(a,b?R)在x?2时有极值，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x?y?0平行.
（1）求a、b的值；（2）求函数f(x)的单调区间. 解：（1）?f(x)?x(ax?b)?ax?bx, ?f(x)?3ax?2bx.由已知可得，
'2232 7
?f'(2)?0?12a?4b?0?a?1???? ?' ?3a?2b??3?b??3?f(1)?0(2)由（1）得f'(x)?3x2?6x?3x(x?2).
由f'(x)?0，可得x?0或x?2. 当x?(??,0)时，f'(x)?0, 当x?(0,2)时，f'(x)?0,
当x?(2,??)时，f'(x)?0.
?f(x)的单调区间为（??，0）和（2，??）；单调减区间为（0，2）.
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ax＋bx，a≠0. 设函数f(x)的图象C1与2函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 证法一 设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0 例10、已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ 则点M、N的横坐标为x?x1?x2, 2 C1在点M处的切线斜率为k1?12|x1?x2?, x?xx1?x22x1?x2?2 C2在点N处的切线斜率为k2?ax?b|x?a(x1?x2)?b. 2 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2. 即 a(x1?x2)2??b，则 x1?x222(x2?x1)a2a2a?(x2?x12)?b(x2?x1)?(x2?bx2)?(x12?bx1) x1?x2222 =y2?y1?lnx2?lnx1. 所以lnx2?x12(x2?1)x1x2(t?1),t?1.① . 设t?2,则lnt?x21?tx11?x1 8 2(t?1)14(t?1)2,t?1.则r?(t)??令r(t)?lnt??. 221?tt(t?1)t(t?1)因为t?1时，r?(t)?0，所以r(t)在[1,??）上单调递增. 故r(t)?r(1)?0. 2(t?1). 这与①矛盾，假设不成立. 1?t故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 则lnt?证法二：同证法一得(x2?x1)(lnx2?lnx1)?2(x2?x1). 因为x1?0，所以(x2xx?1)ln2?2(2?1). x1x1x1 令t?x2，得(t?1)lnt?2(t?1),t?1. ② x11令r(t)?(t?1)lnt?2(t?1),t?1,则r?(t)?lnt??1. t111t?11因为(lnt?)???2?2，所以t?1时，(lnt?)??0./ ttttt11故lnt?在[1，+?)上单调递增.从而lnt??1?0，即r?(t)?0. tt于是r(t)在[1，+?)上单调递增. 故r(t)?r(1)?0.即(t?1)lnt?2(t?1).这与②矛盾，假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。 点评：本题涉及对数曲线的切线，无法用传统的二次方程根的判别式来求解，虽然曲线C2切线可用判别式来求解，但过程烦琐，运算量大且容易出错，导数的几何意义为这类问题的解决提供了新方法、新途径。涉及到曲线的切线尤其是三次或三次以上的曲线与对数曲线、指数曲线等曲线的切线和公切线问题（如2003年全国文科18题），也是近年来各省市新高考中经常出现的一种题型。在这类问题中，我们不但要运用导数的几何意义，还常常用两直线位置关系来构建方程。这类问题具有立意新、结构新、方法新、难度适中等特点，所以在高考中考查力度逐步加大，对此在复习中应引起重视. 3 运用导数解决与函数单调性有关的问题 例11、已知函数 y?xf?(x)的图象如右图所示(其中f?(x) yy=xf'(x)1-1o1x-1 9 y21-2-1-2A oy21123xy4oy42-1-212x-22o1x-2o2xB C D 是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y?f(x)的图象大致是（C） 解：当x?(??,?1)时，x<0,由右图可知xf'(x)?0?f'(x)?0， ∴f(x)在(??,?1)为增函数。同理可得在(?1,0)f'(x)?0，即f(x)在(-1,0)为减函数.故选c 点评：本题考查了运用导数的符号判断函数单调性的知识及数形结合、分类讨论的数学思想.导数的符号决定原函数的单调性，即 若x?(a,b)时，f'(x)?0?f(x)在(a,b)上单调递增.若x?(a,b)时，f'(x)<0?f(x)在(a,b)上单调递减. 所以解答此题的关键是判断导数在各区间上的符号。需要注意的是f'(x)?0是 f(x)为增函数的充分不必要条件. 例12、（海南文 19）设函数f(x)?ln(2x?3)?x2 （Ⅰ）讨论f(x)的单调性； ?31?（Ⅱ）求f(x)在区间??，?的最大值和最小值． ?44??3?解：f(x)的定义域为??，?∞?． ?2?24x2?6x?22(2x?1)(x?1)?2x??（Ⅰ）f?(x)?． 2x?32x?32x?3当?3?x??1时，f?(x)?0；??x?当?1211时，f?(x)?0；当x??时，f?(x)?0． 221??3??1??从而，f(x)分别在区间??，?1?，??，?∞?单调增加，在区间??1，??单调 2??2??2?? 10 减少． ?31?（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在区间??，?的最小值为 ?44??3?又f?????4?1?1?f????ln2?． 4?2?3971311?49??1?f???ln??ln??ln???1?ln??0． 216216722?6??4?7?1?1f????ln． 2?4?16?31?所以f(x)在区间??，?的最大值为 ?44? 例13、（2003天津19） 设a?0，求函数f(x)?x?ln(x?a)(x?(0,??)的单调区间. 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分. 解：f?(x)?1?1(x?0). 2xx?a当a?0,x?0时 f?(x)?0?x2?(2a?4)x?a2?0. f?(x)?0?x2?(2a?4)x?a2?0 （i）当a?1时，对所有x?0，有x2?(2a?4)?a2?0. 即f?(x)?0，此时f(x)在(0,??)内单调递增. （ii）当a?1时，对x?1，有x2?(2a?4)x?a2?0， 即f?(x)?0，此时f(x)在（0，1）内单调递增，又知函数f(x)在x=1处连续，因此， 函数f(x)在（0，+?）内单调递增 （iii）当0?a?1时，令f?(x)?0，即x2?(2a?4)x?a2?0. 解得x?2?a?21?a,或x?2?a?21?a. 因此，函数f(x)在区间(0,2?a?21?a)内单调递增，在区间 (2?a?21?a,??) 内也单调递增. 令f?(x)?0,即x2?(2a?4)x?a2?0，