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解得2?a?21?a?x?2?a?21?a.
因此，函数f(x)在区间（2?a-21?a,2?a?21?a)内单调递减. 例14、(上海理科19) 已知函数f(x)?x2?ax(x?0，常数a?R)．
（1）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
??)上为增函数，求a的取值范围． （2）若函数f(x)在x?[2，解：（1）当a?0时，f(x)?x2，
220)?(0，??)，f(?x)?(?x)?x?f(x)， 对任意x?(??， ?f(x)为偶函数．
当a?0时，f(x)?x2?(a?0，x?0)，
取x??1，得 f(?1)?f(1)?2?0，f(?1)?f(1)??2a?0，
f(，1)f ?f(?1)???(1?)f，
ax ? 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x1?x2， f(x1)?f(x2)?x12?aa(x1?x2)2?x2??x1x2(x1?x2)?a?， ?x1x2x1x2??)上为增函数，必须f(x1)?f(x2)?0恒成立． 要使函数f(x)在x?[2， ?x1?x2?0，xx1?24，即a?x1x2(x1?x2)恒成立． 又?x1?x2?4，?x1x2(x1?x2)?16．
16]． ?a的取值范围是(??，??)为增函数． 解法二：当a?0时，f(x)?x2，显然在[2，当a?0时，反比例函数
?f(x)?x2?a??)为增函数， 在[2，xa??)为增函数． 在[2，x 当a?0时，同解法一．
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例15、（05年全国Ⅱ22）已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ x2 -2ax ）ex . （1）当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a的取值范围.
x3例16、已知函数f(x)??(4m?1)x2?(15m2?2m?7)x?2在实数集R上是增函数，
3求实数m的取值范围．
错解：f?(x)?x2?2(4m?1)x?15m2?2m?7，依题意，f?(x)?0在R上恒成立，所以
??m2?6m?8?0，得2?m?4．
正解：依题意，f?(x)?0在R上恒成立，所以??m?6m?8?0，得2?m?4．
2当m?2时
x313731349223f(x)??7x?49x?2?(x?21x?3?49x?7)?2??(x?7)3?；
333331231m?4时，f(x)?(x?15)3?．显然函数也恒增，且f?(x)?0．
33故得2?m?4
ax?1例17、函数f(x)?在区间(?2,??)上是增函数，则a的取值范围是
x?2解：（求导法）因f?(x)?a(x?2)?(ax?1)2a?11?f(x)?0?，由得，但是， a?2(x?2)2(x?2)2当a?11时，f(x)?1，显然在(?2,??)上不是增函数，故a?为所求． 22点评：函数f(x)在区间(a,b)上递增?f?(x)?0在x?(a,b)时总成立．
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4、运用导数分析极值或最值.
“f?(x0)?0”是“点x?x0为f(x)的极值点”的既不充分又不必要条件．
例18、 函数f(x)?(x2?1)3?2的极值点是（ ）．
（A）x?1 （B）x??1 （C）x?1或?1或0 （D）x?0 错解：∵ f?(x)?3(x2?1)2?2x?6x(x?1)2(x?1)2， ∴由f?(x)?0得x?1或?1或0，故选C．
正解分析：由f?(x)?6x(x?1)2(x?1)2可知当x?1或0?x?1时，都有f?(x)?0，并没有改变f?(x)的符号，故x?1不是f(x)的极值点；同理也可得x??1也不是极值点，故正确答案为D．
例19、若函数f(x)?x4?ax3?x2?2有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围．
322解：f?(x)?4x?3ax?2x?x(4x?3ax?2)，
22由题意得 4x?3ax?2?0总成立，故??9a?32?0， ∴ ?4242?a?． 33例20、 已知a?R，讨论函数f(x)?ex(x2?ax?a?1)的极值点的个数.
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解:f?(x)?ex(x2?ax?a?1)?ex(2x?a) ?ex[x2?(a?2)x?(2a?1)],令f?(x)?0得x2?(a?2)x?(2a?1)?0.
（1）当??(a?2)2?4(2a?1)?a2?4a?a(a?4)?0.
即a?0或a?4时,方程x2?(a?2)x?(2a?1)?0有两个不同的实根x1,x2,不妨设x1?x2,于是f?(x)?ex(x?x1)(x?x2),从而有下表:
x f?(x) (??,x1) + x1 0 (x1,x2) － x2 0 (x2,??) + f(x) f(x1)为极大值 f(x2)为极小值 即此时f(x)有两个极值点.
（2）当??0即a?0或a?4时,方程x2?(a?2)x?(2a?1)?0有两个相同的实根x1?x2
于是f?(x)?ex(x?x1)2
故当x?x1时,f?(x)?0;当x?x2时,f?(x)?0,因此f(x)无极值. （3）当??0,即0?a?4时,x2?(a?2)x?(2a?1)?0,
此时f(x)无极值. 因此当f?(x)?ex[x2?(a?2)x?(2a?1)]?0,故f(x)为增函数，
a?4或a?0时,f(x)有2个极值点,当0?a?4时,f(x)无极值点。
点评：
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例21、已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 解：（I） f'(x)＝－3x2＋6x＋9．令f'(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， 所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f'(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是
f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7。
点评： 导数引入新教材后，为分析三次函数问题提供了很好的工具。近年来新高考中尤其是文科试卷中经常出现以三次函数为背景的问题，一般是考查三次函数的单调性、极值与最值、三次函数图象的切线、三次方程实根个数、三次不等式等知识点，一般难度不大，如果在理科试卷中出现，则要求考查分类讨论等数学思想。解决此类问题的思路是求导后转化为“三个二次”问题，使得这个问题借助导数工具又呈现一道靓丽的风景。
5、导数的实应用
例22、（湖南理 19）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面?所成的二面角为?（0????90?），且sin??2，点P到平面?的距离PH?0.4（km）．沿山脚原有5一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为
a万元/km．当山坡上公路长度为lkm（1≤l≤2）时，其造价为2(l2?1)a万元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB?1.5(km)，OA?3(km)． （I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．